Suponha que a função de custo total de uma empresa em concorrência perfeita seja dada por \mathrm{CT}=\mathrm{Q}^{3} -8 Q^{2}+30 Q+5.
a) Calcule o custo variável, o custo fixo, o custo médio, o custo variável médio, o custo fixo médio e o custo marginal.
b) Calcule a produção que minimize o custo variável médio. Qual é o valor do CVMe a esse nível de produção?
c) Suponha que o preço seja \mathrm{R} \ 14,00$. Qual é a produção que maximiza/minimiza o lucro/prejuízo? Qual é o valor do lucro/prejuízo nesse nível de produção?
d) Qual é o menor preço aceitável por essa empresa para que ela continue operando no curto prazo. Por que?
e) Identifique a curva de oferta da empresa. (segmento do CMg )
f) Para um preço de R$ 40,00, calcule a produção que maximiza o lucro dessa empresa. Qual é o valor desse lucro?

Passo 1

Enunciado e o que se pede: a função de custo total é
\mathrm{CT}=\mathrm{Q}^{3}-8\mathrm{Q}^{2}+30\mathrm{Q}+5.
Perguntas:
a) Calcular: custo variável (CV), custo fixo (CF), custo médio (CM), custo variável médio (CVMe), custo fixo médio (CFMe) e custo marginal (CMg).
b) Calcular a produção que minimiza o CVMe e o valor do CVMe nesse nível.
c) Para preço \text{R\$ }14{,}00: determinar a produção que maximiza/minimiza o lucro/prejuízo e o valor do lucro/prejuízo.
d) Encontrar o menor preço aceitável para operar no curto prazo, e justificar.
e) Identificar a curva de oferta da firma (qual trecho do CMg).
f) Para preço \text{R\$ }40{,}00: calcular a produção que maximiza o lucro e o valor desse lucro.

Passo 2

Conceitos e como vamos proceder (mini-aula):
  • O custo total \mathrm{CT}(\mathrm{Q}) é a soma do custo fixo (CF) e do custo variável (CV): \mathrm{CT}(\mathrm{Q})=\mathrm{CF}+\mathrm{CV}(\mathrm{Q}). O custo fixo é a parte da CT que não depende de \mathrm{Q} (constante).
  • O custo variável é a parte que depende de \mathrm{Q} (tudo que multiplica ou envolve \mathrm{Q}).
  • Custo médio (CM) é \mathrm{CM}(\mathrm{Q})=\dfrac{\mathrm{CT}(\mathrm{Q})}{\mathrm{Q}} (custo por unidade).
  • Custo variável médio (CVMe) é \mathrm{CVMe}(\mathrm{Q})=\dfrac{\mathrm{CV}(\mathrm{Q})}{\mathrm{Q}}.
  • Custo fixo médio (CFMe) é \mathrm{CFMe}(\mathrm{Q})=\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{Q}}.
  • Custo marginal (CMg) é a derivada da CT em relação a \mathrm{Q}: \mathrm{CMg}(\mathrm{Q})=\dfrac{d\,\mathrm{CT}}{d\mathrm{Q}}. Isso diz quanto aumenta o custo total quando produzimos uma unidade a mais.
    Vou aplicar essas definições passo a passo usando a função dada.

Passo 3

a) Identificação do custo fixo e do custo variável:
A CT é \mathrm{CT}(\mathrm{Q})=\mathrm{Q}^{3}-8\mathrm{Q}^{2}+30\mathrm{Q}+5. A parte que não depende de \mathrm{Q} é o termo constante 5, portanto:
\mathrm{CF}=5.
O custo variável é o que sobra, isto é:
\mathrm{CV}(\mathrm{Q})=\mathrm{CT}(\mathrm{Q})-\mathrm{CF}=\mathrm{Q}^{3}-8\mathrm{Q}^{2}+30\mathrm{Q}.

Passo 4

a) Cálculo dos custos médios e do custo marginal, com explicação das fórmulas:
  • Custo médio:
\mathrm{CM}(\mathrm{Q})=\frac{\mathrm{CT}(\mathrm{Q})}{\mathrm{Q}}=\frac{\mathrm{Q}^{3}-8\mathrm{Q}^{2}+30\mathrm{Q}+5}{\mathrm{Q}}=\mathrm{Q}^{2}-8\mathrm{Q}+30+\frac{5}{\mathrm{Q}}.
Expl: dividimos cada termo de \mathrm{CT} por \mathrm{Q}. Note que o termo 5/\mathrm{Q} é o CFMe.
  • Custo variável médio:
\mathrm{CVMe}(\mathrm{Q})=\frac{\mathrm{CV}(\mathrm{Q})}{\mathrm{Q}}=\frac{\mathrm{Q}^{3}-8\mathrm{Q}^{2}+30\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}}=\mathrm{Q}^{2}-8\mathrm{Q}+30.
Expl: dividimos CV por \mathrm{Q}. É um polinômio quadrático.
  • Custo fixo médio:
\mathrm{CFMe}(\mathrm{Q})=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{Q}}=\frac{5}{\mathrm{Q}}.
  • Custo marginal: derivada de \mathrm{CT}:
\mathrm{CMg}(\mathrm{Q})=\frac{d}{d\mathrm{Q}}\left(\mathrm{Q}^{3}-8\mathrm{Q}^{2}+30\mathrm{Q}+5\right)=3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}+30.
Expl: derivada de \mathrm{Q}^{3} é 3\mathrm{Q}^{2}, de -8\mathrm{Q}^{2} é -16\mathrm{Q}, de 30\mathrm{Q} é 30, e de constante é 0.

Passo 5

b) Minimizar \mathrm{CVMe}(\mathrm{Q})=\mathrm{Q}^{2}-8\mathrm{Q}+30.
Comentário didático: é um polinômio quadrático da forma \mathrm{aQ}^{2}+\mathrm{bQ}+\mathrm{c} com \mathrm{a}=1>0, logo tem um mínimo (vértice) em \mathrm{Q}=-\dfrac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}. Aqui \mathrm{b}=-8.
Assim:
\mathrm{Q}^{*}=-\frac{-8}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4.
Valor do \mathrm{CVMe} nesse \mathrm{Q}=4:
\mathrm{CVMe}(4)=4^{2}-8\cdot 4+30=16-32+30=14.
Expl: interprete como o menor custo variável por unidade que a firma pode alcançar; ocorre em \mathrm{Q}=4 e vale 14.

Passo 6

c) Regra de maximização de lucro em concorrência perfeita (mini-aula rápida): a firma toma o preço p e escolhe \mathrm{Q} que maximize \pi(\mathrm{Q})=p\mathrm{Q}-\mathrm{CT}(\mathrm{Q}). Primeiro-ordem: se interior, então p=\mathrm{CMg}(\mathrm{Q}). Porém só é viável produzir se p cobre o custo variável médio: p\ge\min \mathrm{CVMe} (caso contrário, é melhor produzir zero e pagar só o custo fixo no curto prazo). Se p=\min\mathrm{CVMe} a firma fica indiferente entre produzir na quantidade que iguala MC a p no ponto de tangência e fechar (produzir 0).
Agora aplicando com p=\text{R\$ }14{,}00: primeiro verifique que p=\min\mathrm{CVMe}=14, então temos o caso limite (indiferença possível).

Passo 7

c) Resolver \mathrm{CMg}(\mathrm{Q})=14.
3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}+30=14 \Rightarrow 3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}+16=0.
Resolver a quadrática: discriminante \Delta=(-16)^{2}-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64, \sqrt{\Delta}=8. As raízes:
\mathrm{Q}=\frac{16\pm 8}{6}\Rightarrow \mathrm{Q}_{1}=\frac{24}{6}=4,\quad \mathrm{Q}_{2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx1{,}333.
Mas precisamos checar viabilidade quanto ao CVMe: a \mathrm{Q}=\tfrac{4}{3} temos \mathrm{CVMe}(\tfrac{4}{3})>14 (logo p<\mathrm{CVMe} nesse ponto), então produzir \tfrac{4}{3} não é viável (gera perda variável não coberta). Em \mathrm{Q}=4 temos p=\mathrm{CVMe}(4), então \mathrm{Q}=4 é o ponto de tangência viável. Também devemos comparar com a opção produzir zero ( \mathrm{Q}=0).
Calcule lucros: \pi(\mathrm{Q})=p\mathrm{Q}-\mathrm{CT}(\mathrm{Q}) com p=14.
  • Para \mathrm{Q}=4: \mathrm{CT}(4)=4^{3}-8\cdot4^{2}+30\cdot4+5=64-128+120+5=61. \mathrm{TR}=14\cdot4=56. Logo \pi(4)=56-61=-5 (prejuízo de \text{R\$ }5{,}00).
  • Para \mathrm{Q}=\tfrac{4}{3}: cálculo exato: \mathrm{CT}(\tfrac{4}{3})=\dfrac{895}{27} (detalhe nos cálculos), \mathrm{TR}=14\cdot \tfrac{4}{3}=\dfrac{56}{3}. \pi(\tfrac{4}{3})=\dfrac{56}{3}-\dfrac{895}{27}=\dfrac{504-895}{27}=-\dfrac{391}{27}\approx-14{,}48 (pior).
  • Para \mathrm{Q}=0: \mathrm{TR}=0, \mathrm{CT}(0)=5, logo \pi(0)=-5.
Conclusão: as melhores opções (máximo de lucro ou mínimo prejuízo) são \mathrm{Q}=0 e \mathrm{Q}=4, ambos dando \pi=-5. Portanto a firma fica indiferente entre produzir \mathrm{Q}=4 ou fechar (produzir zero), e o pior candidato estacionário \mathrm{Q}=\tfrac{4}{3} dá prejuízo maior.

Passo 8

d) Menor preço aceitável no curto prazo (mini-aula): a firma segue operando se o preço cobre o custo variável médio mínimo, porque assim a firma consegue cobrir os custos variáveis e parte do custo fixo. Se p<\min\mathrm{CVMe} é melhor produzir zero e arcar só com o custo fixo. Pelos cálculos do Passo 5, \min\mathrm{CVMe}=14 em \mathrm{Q}=4. Portanto o menor preço aceitável no curto prazo é
\text{R\$ }14{,}00.

Passo 9

e) Curva de oferta da firma (explicação): em concorrência perfeita a curva de oferta individual é a porção ascendente do \mathrm{CMg} que fica acima do \mathrm{CVMe} mínimo (porque para preços abaixo do mínimo de CVMe a firma prefere produzir zero). Matematicamente, a oferta é dada por
p=\mathrm{CMg}(\mathrm{Q})=3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}+30\quad\text{com}\quad \mathrm{Q}\ge 4,
e para p<14 a firma oferece \mathrm{Q}=0. Em palavras: a curva de oferta é o segmento do \mathrm{CMg} para \mathrm{Q}\ge4 (além do ponto \mathrm{Q}=0 quando p<14).

Passo 10

f) Para p=\text{R\$ }40{,}00: aplicar regra p=\mathrm{CMg}(\mathrm{Q}) (pois p>14 e portanto produzir é viável). Resolver:
3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}+30=40 \Rightarrow 3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}-10=0.
Resolvendo a quadrática:
\mathrm{Q}=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^{2}-4\cdot 3\cdot(-10)}}{6}=\frac{16\pm\sqrt{376}}{6}=\frac{8\pm\sqrt{94}}{3}.
A raiz positiva é
\mathrm{Q}^{*}=\frac{8+\sqrt{94}}{3}\approx 5{,}89845.
Esta é >\!4, portanto viável (está na parte da oferta). Agora o lucro: \pi(\mathrm{Q})=p\mathrm{Q}-\mathrm{CT}(\mathrm{Q}). Substituindo numericamente:
\pi\left(\frac{8+\sqrt{94}}{3}\right)\approx \text{R\$ }127{,}11\\ (\text{aprox.}).
(Expl.: calculei numericamente \mathrm{CT} nessa \mathrm{Q} e subtrai de p\mathrm{Q} para obter esse valor aproximado.)

Resposta

a) \mathrm{CV}(\mathrm{Q})=\mathrm{Q}^{3}-8\mathrm{Q}^{2}+30\mathrm{Q}; \mathrm{CF}=5; \mathrm{CM}(\mathrm{Q})= \mathrm{Q}^{2}-8\mathrm{Q}+30+\dfrac{5}{\mathrm{Q}}; \mathrm{CVMe}(\mathrm{Q})=\mathrm{Q}^{2}-8\mathrm{Q}+30; \mathrm{CFMe}(\mathrm{Q})=\dfrac{5}{\mathrm{Q}}; \mathrm{CMg}(\mathrm{Q})=3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}+30.
b) \mathrm{Q}=4. \mathrm{CVMe}(4)=14.
c) Para p=\text{R\$}14{,}00: maximização/minimização do lucro/prejuízo: \mathrm{Q}=0 ou \mathrm{Q}=4 (empate). Lucro/prejuízo: \pi=-5 (prejuízo de \text{R\$ }5{,}00).
d) Menor preço aceitável no curto prazo: \text{R\$ }14{,}00 (igual ao mínimo do \mathrm{CVMe}).
e) Curva de oferta: segmento do \mathrm{CMg} acima do mínimo de \mathrm{CVMe}, isto é
p=3\mathrm{Q}^{2}-16\mathrm{Q}+30\quad\text{com}\quad \mathrm{Q}\ge4,
e \mathrm{Q}=0 para p<14.
f) Para p=\text{R\$}40{,}00: \mathrm{Q}=\dfrac{8+\sqrt{94}}{3}\approx 5{,}89845. Lucro aproximado: \pi\approx\text{R\$ }127{,}11.

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