Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^{2}, y=x+2;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x+2.
Informações dadas:
  • Duas curvas explícitas: y=x^{2} (parábola) e y=x+2 (reta).
  • A região limitada por elas é a parte do plano que fica entre essas duas curvas até os pontos em que se encontram.
O que precisamos encontrar:
  • A área da região fechada que é limitada por essas duas curvas (ou seja, a área entre as duas curvas entre os pontos de interseção).

Passo 2

Ideia geral e fórmula que vamos usar (aqui eu te explico a teoria necessária como se estivéssemos estudando para a prova).
Quando temos duas curvas dadas por funções y=f(x) e y=g(x), e quando em um intervalo [a,b] uma delas está acima da outra (ou seja, f(x)\ge g(x) para todo x\in[a,b]), a área da região entre elas é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Explicando as partes:
  • a e b são os pontos de interseção das curvas (as abscissas onde f(x)=g(x)).
  • f(x) é a função que fica “por cima” (valor maior de y) no intervalo.
  • g(x) é a função que fica “por baixo”.
  • A integral calcula a soma das áreas de retângulos infinitesimais de largura dx e altura f(x)-g(x).
Por que integração em x? Porque as funções estão escritas explicitamente como y= alguma função de x e a região é “verticalmente simples” (para cada x entre a e b existe um único segmento vertical entre as curvas).

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção: resolvemos x^{2}=x+2.
Passo a passo:
x^{2}=x+2
x^{2}-x-2=0
Reconhecemos uma quadrática que fatoriza:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0
Logo as soluções são
x=2\quad\text{e}\quad x=-1.
Portanto o intervalo onde as curvas se encontram e delimitam a região é [-1,2].

Passo 4

Determinar qual curva fica por cima (ou seja, qual é f(x) e qual é g(x) no intervalo [-1,2]).
Uma maneira prática: escolher um ponto qualquer entre -1 e 2, por exemplo x=0, e comparar os valores.
  • Para x=0: y=x+2 0+2=2.
  • Para x=0: y=x^{2} 0^{2}=0.
Como 2>0, a reta y=x+2 está acima da parábola y=x^{2} em x=0. Como a diferença entre as curvas é uma quadrática que muda de sinal exatamente nas interseções e a reta é maior em um ponto interior, concluímos que para todo x\in(-1,2) temos x+2\ge x^{2}. Portanto
f(x)=x+2\quad\text{(superior)},\qquad g(x)=x^{2}\quad\text{(inferior)}.

Passo 5

Montar a integral para a área usando a fórmula do Passo 2 e os limites do Passo 3:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)\,dx.Á
Aqui o integrando (x+2)-x^{2} é a altura vertical em cada x entre as curvas.

Passo 6

Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando termo a termo.
Usamos:
  • \displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},
  • \displaystyle\int 2\,dx=2x,
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Assim uma primitiva de (x+2)-x^{2} é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Avaliar a integral definida usando F(x) entre -1 e 2:
\text{Área}=F(2)-F(-1).Á
Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{2}}{2}+2\cdot 2-\frac{2^{3}}{3}=\frac{4}{2}+4-\frac{8}{3}=2+4-\frac{8}{3}=6-\frac{8}{3}.
Colocando em denominação comum:
6-\frac{8}{3}=\frac{18}{3}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}.
Calcule F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-2-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}.
Colocando em denominação comum 6:
\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{12}{6}+\frac{2}{6}=\frac{(3-12+2)}{6}=\frac{-7}{6}.

Passo 8

Subtrair F(-1) de F(2):
\text{Área}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}.Á
Colocando em denominação comum 6:
\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.
Verificação rápida: \frac{9}{2}=4{,}5, é positivo e faz sentido para a região entre uma parábola e uma reta nesse intervalo.

Passo 9

Dica prática para a prova (por um amigo que torce por você): sempre faça os três passos essenciais sem pressa — achar interseções, determinar qual função é superior (teste um ponto interior ou examine a diferença), e montar a integral. Se esquecer uma dessas etapas, a resposta pode ficar com sinal trocado ou com limites errados. Dá pra fazer isso bem rápido com prática!

Resposta

\dfrac{9}{2}

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