Calcule a área da região limitada pelas curvas:
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Duas curvas explícitas:
(parábola) e (reta). - A região limitada por elas é a parte do plano que fica entre essas duas curvas até os pontos em que se encontram.
O que precisamos encontrar:
- A área da região fechada que é limitada por essas duas curvas (ou seja, a área entre as duas curvas entre os pontos de interseção).
Passo 2
Ideia geral e fórmula que vamos usar (aqui eu te explico a teoria necessária como se estivéssemos estudando para a prova).
Quando temos duas curvas dadas por funções
e
, e quando em um intervalo
uma delas está acima da outra (ou seja,
para todo
), a área da região entre elas é dada por
Explicando as partes:
-
e são os pontos de interseção das curvas (as abscissas onde ). -
é a função que fica “por cima” (valor maior de ) no intervalo. -
é a função que fica “por baixo”. - A integral calcula a soma das áreas de retângulos infinitesimais de largura
e altura .
Por que integração em
? Porque as funções estão escritas explicitamente como
alguma função de
e a região é “verticalmente simples” (para cada
entre
e
existe um único segmento vertical entre as curvas).
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção: resolvemos
.
Passo a passo:
Reconhecemos uma quadrática que fatoriza:
Logo as soluções são
Portanto o intervalo onde as curvas se encontram e delimitam a região é
.
Passo 4
Determinar qual curva fica por cima (ou seja, qual é
e qual é
no intervalo
).
Uma maneira prática: escolher um ponto qualquer entre
e
, por exemplo
, e comparar os valores.
- Para
: dá . - Para
: dá .
Como
, a reta
está acima da parábola
em
. Como a diferença entre as curvas é uma quadrática que muda de sinal exatamente nas interseções e a reta é maior em um ponto interior, concluímos que para todo
temos
. Portanto
Passo 5
Montar a integral para a área usando a fórmula do Passo 2 e os limites do Passo 3:
Aqui o integrando
é a altura vertical em cada
entre as curvas.
Passo 6
Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando termo a termo.
Usamos:
-
, -
, -
.
Assim uma primitiva de
é
Passo 7
Avaliar a integral definida usando
entre
e
:
Calcule
:
Colocando em denominação comum:
Calcule
:
Colocando em denominação comum
:
Passo 8
Subtrair
de
:
Colocando em denominação comum
:
Verificação rápida:
, é positivo e faz sentido para a região entre uma parábola e uma reta nesse intervalo.
Passo 9
Dica prática para a prova (por um amigo que torce por você): sempre faça os três passos essenciais sem pressa — achar interseções, determinar qual função é superior (teste um ponto interior ou examine a diferença), e montar a integral. Se esquecer uma dessas etapas, a resposta pode ficar com sinal trocado ou com limites errados. Dá pra fazer isso bem rápido com prática!