Obtenha uma aproximação da solução desse PVC aplicando o método das diferenças finitas considerando uma discretização com 6 pontos, ou seja fazendo N=4.
Passo 1
O enunciado dá o Problema de Valor de Contorno (PVC)
e pede uma aproximação aplicando diferenças finitas com 6 pontos no intervalo, isto é, com N=4 pontos interiores (total de N+2=6 nós).\n
Informações relevantes que extraí do enunciado:
Domínio: [0,\pi].
Condições de contorno: y(0)=-\tfrac{3}{10} e y(\pi)=\tfrac{3}{10}.
Usar 6 pontos no intervalo (nós), logo x_i=i h com i=0,1,\dots,5 e h=\dfrac{\pi}{5}.
Incógnitas: valores aproximados em x_1,x_2,x_3,x_4 (quatro incógnitas).
A partir daqui vamos construir o sistema de diferenças finitas e resolvê-lo passo a passo.]
Passo 2
Discretização da malha e suas coordenadas:
h=\frac{\pi}{5},\qquad x_i=i h,\quad i=0,\dots,5.
Lista dos nós (usarei aprox. numéricas quando necessário):
As incógnitas são y_1\equiv y(x_1),\; y_2\equiv y(x_2),\; y_3\equiv y(x_3),\; y_4\equiv y(x_4).
Os contornos fixos são y_0=y(0)=-\tfrac{3}{10} e y_5=y(\pi)=\tfrac{3}{10}.
Passo 3
Aproximações por diferenças finitas (explicando a ideia):
A segunda derivada no ponto x_i é aproximada centralmente por
y''(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}.
Isso vem da expansão em série de Taylor e é de segunda ordem de precisão.
A primeira derivada no ponto x_i usamos a diferença central
y'(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h},
também de segunda ordem. Esses são os aproximadores clássicos para EDOs com derivadas até segunda ordem.
Substituímos essas aproximações na equação diferencial no nó x_i (i=1,\dots,4):
Escrevendo o sistema linear tridiagonal numérico A\vec y=\vec b para \vec y=(y_1,y_2,y_3,y_4)^T:
A matriz A tem subdiagonal \alpha, diagonal \beta e superdiagonal \gamma:
Resolução do sistema tridiagonal pelo algoritmo de Thomas (eliminação direta para tridiagonal).
Defino vetores modificados \tilde c_i e \tilde d_i com índice i=1,\dots,4.
Inicialização: