\iint_{S} x^{2} z d S, S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2} z \, dS,
onde S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.
Informações relevantes dadas:
  • Satisfazemos a equação do cone: \;z^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • A porção de superfície considerada tem 1\le z\le 3. Como z está entre 1 e 3 (positivos), estamos na "nappe" superior do cone, onde z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A função a integrar sobre a superfície é f(x,y,z)=x^{2}z.
  • Queremos o valor numérico da integral de superfície.
]

Passo 2

Escolha do método: vamos parametrizar a superfície S e usar a fórmula da integral de superfície de uma função escalar. Motivo prático: o cone é naturalmente descrito em coordenadas cilíndricas, então uma parametrização em termos de r e \theta fica simples e o elemento de área \,dS se obtém com o produto vetorial das derivadas parciais.
Parametrização escolhida (nappe superior, pois z entre 1 e 3):
\mathbf{X}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr),
com os parâmetros variando em
1\le r\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 3

Lembrete da fórmula usada (aula curta): se \mathbf{X}(u,v) parametriza a superfície S e f é função escalar, então
\iint_{S} f\,dS=\iint_{D} f\bigl(\mathbf{X}(u,v)\bigr)\,\bigl\lVert \mathbf{X}_u\times\mathbf{X}_v\bigr\rVert\,du\,dv,
onde \mathbf{X}_u e \mathbf{X}_v são derivadas parciais de \mathbf{X} e o produto vetorial dá o fator de escala (área local). Aqui u=r e v=\theta.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais da parametrização:
\mathbf{X}_r(r,\theta)=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr)=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),
\mathbf{X}_\theta(r,\theta)=\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr)=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta.
Usando a regra do determinante:
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\\\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo (linha 1):
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta =\mathbf{i}\,(\sin\theta\cdot 0 - 1\cdot r\cos\theta) -\mathbf{j}\,(\cos\theta\cdot 0 - 1\cdot(-r\sin\theta)) +\mathbf{k}\,(\cos\theta\cdot r\cos\theta - \sin\theta\cdot(-r\sin\theta)).
Simplificando:
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta = (-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r).

Passo 6

Calcular a norma do produto vetorial (o fator \,dS):
\bigl\lVert \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\bigr\rVert =\sqrt{(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}+r^{2}} =\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}}.
Usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1:
\bigl\lVert \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\bigr\rVert =\sqrt{r^{2}+r^{2}}=\sqrt{2r^{2}}=r\sqrt{2}.
Portanto dS = r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Expressar a função integranda na parametrização. Sobre a superfície parametrizada temos x=r\cos\theta, z=r. Logo
x^{2}z=(r\cos\theta)^{2}\cdot r = r^{3}\cos^{2}\theta.
Multiplicando pelo fator de área dS=r\sqrt{2}\,dr\,d\theta, o integrando na região de parâmetros é
r^{3}\cos^{2}\theta \cdot r\sqrt{2} = \sqrt{2}\,r^{4}\cos^{2}\theta.
Assim a integral de superfície vira a integral dupla
\iint_{S} x^{2}z\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} \sqrt{2}\,r^{4}\cos^{2}\theta \, dr\,d\theta.

Passo 8

Separar a integral em produto de uma parte em r e outra em \theta (pois o integrando é produto de função de r por função de \theta):
\iint_{S} x^{2}z\,dS = \sqrt{2}\left(\int_{1}^{3} r^{4}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Calcular a integral angular \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta. Usamos a identidade
\cos^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta).
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos 2\theta\,d\theta =\tfrac{1}{2}(2\pi)+\tfrac{1}{2}\cdot 0=\pi.

Passo 9

Calcular a integral radial \int_{1}^{3} r^{4}\,dr:
\int_{1}^{3} r^{4}\,dr=\left[\tfrac{r^{5}}{5}\right]_{1}^{3}=\frac{3^{5}-1^{5}}{5}=\frac{243-1}{5}=\frac{242}{5}.

Passo 10

Combinar os resultados:
\iint_{S} x^{2}z\,dS = \sqrt{2}\cdot\frac{242}{5}\cdot\pi = \frac{242\pi\sqrt{2}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{242\pi\sqrt{2}}{5}

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