\iint_{S} x^{2} z d S, S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2} z \, dS,
onde S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.
Informações relevantes dadas:
•Satisfazemos a equação do cone: \;z^{2}=x^{2}+y^{2}.
•A porção de superfície considerada tem 1\le z\le 3. Como z está entre 1 e 3 (positivos), estamos na "nappe" superior do cone, onde z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
•A função a integrar sobre a superfície é f(x,y,z)=x^{2}z.
•Queremos o valor numérico da integral de superfície.
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Passo 2
Escolha do método: vamos parametrizar a superfície S e usar a fórmula da integral de superfície de uma função escalar. Motivo prático: o cone é naturalmente descrito em coordenadas cilíndricas, então uma parametrização em termos de r e \theta fica simples e o elemento de área \,dS se obtém com o produto vetorial das derivadas parciais.
Parametrização escolhida (nappe superior, pois z entre 1 e 3):