Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y=\operatorname{sen}(x) e y= \cos (x).

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelo eixo dos y (ou seja, x=0) e pelas curvas
y=\sin(x)
e
y=\cos(x).
O método aqui é usar integração definida: determinar os limites em x, descobrir qual curva está acima, montar a integral da diferença das funções e calcular o valor.

Passo 2

Para achar onde as duas curvas se encontram, resolvemos
\sin(x)=\cos(x)
no intervalo em que faz sentido (valores positivos de x), o que dá
\tan(x)=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Em x=0 temos \cos(0)=1 e \sin(0)=0, e até x=\pi/4 a função \cos(x) permanece acima de \sin(x). Logo, no intervalo de x\in[0,\pi/4] a distância vertical entre as curvas é
\cos(x)-\sin(x).

Passo 4

A área procurada é
\int_{x=0}^{\pi/4}\bigl[\cos(x)-\sin(x)\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int\cos(x)\,dx = \sin(x), \qquad \int\sin(x)\,dx = -\cos(x).
Logo um antiderivado de \cos(x)-\sin(x) é
F(x)=\sin(x)+\cos(x).
A área vale
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-F(0) =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)-\bigl(0+1\bigr) =\sqrt2-1.

Resposta

A área da região é \sqrt2-1.

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