Exercício 1. Classifique as EDOs quanto a ordem e a linearidade.
g) \sqrt{y^{(V)}}+y=\cos ^{2} x
b) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+y=0
d) x^{4} \frac{d y}{d x}-x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=y^{4} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}
f) \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{4}-\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5}=x-y
h) y^{(V I I)} \cot \left(\sqrt{x^{2}-1}\right)-\tan \left(\sqrt{y^{(I) / x}}\right)=4
y^{\prime}=x y

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique cada EDO quanto à sua ordem (o maior grau de derivada de y que aparece) e quanto à linearidade (se as derivadas e y aparecem somente em grau 1, multiplicadas por funções de x, sem produtos, potências ou funções não lineares de y ou suas derivadas).

Passo 2

Para identificar a ordem, basta olhar qual é a derivada de ordem mais alta em cada equação. Para testar a linearidade, verificamos se podemos escrever a EDO na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x)
sem que haja produtos entre y ou derivadas, potências de y ou de derivadas, nem funções não lineares (como raiz, seno, cosseno, tangente) aplicadas a y ou a suas derivadas.

Passo 3

Para \displaystyle \sqrt{y^{(5)}} + y = \cos^2 x
a derivada de ordem mais alta é y^{(5)}, logo é EDO de ordem 5. Aparece \sqrt{y^{(5)}}, ou seja, a derivada de ordem 5 dentro de uma raiz, o que impede a forma linear; portanto é não-linear.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\,\frac{dy}{dx} + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2 + y = 0
a derivada de ordem mais alta é \frac{d^2y}{dx^2}, então é ordem 2. Há produto entre \frac{d^2y}{dx^2} e \frac{dy}{dx} e também o quadrado de \frac{dy}{dx}, o que torna a equação não-linear.

Passo 5

Para \displaystyle x^4\frac{dy}{dx} - x^2\frac{d^2y}{dx^2} + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2 = y^4\,\frac{d^3y}{dx^3}
a derivada de ordem mais alta é \frac{d^3y}{dx^3}, logo ordem 3. Aparecem \bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^2 e o produto y^4\,\tfrac{d^3y}{dx^3}, portanto é não-linear.

Passo 6

Para \displaystyle \Bigl(\frac{d^3y}{dx^3}\Bigr)^4 - \Bigl(\frac{d^2y}{dx^2}\Bigr)^5 = x - y
a maior derivada é \frac{d^3y}{dx^3}, então ordem 3. Como há potências 4 e 5 das derivadas, a equação não é linear.

Passo 7

Para \displaystyle y^{(7)}\cot\!\bigl(\sqrt{x^2-1}\bigr)\;-\;\tan\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{y'}{x}}\Bigr)=4
a derivada de ordem mais alta é y^{(7)}, portanto é ordem 7. Além do termo em \tan envolvendo \sqrt{y'/x}, temos não-linearidade, pois há função não-linear de derivada de y. Logo é não-linear.

Passo 8

Para \displaystyle y' = x\,y
a maior derivada é y', isto é ordem 1. A equação pode ser rearranjada como
y' - x\,y = 0
com coeficientes que dependem só de x, sem produto entre derivadas nem funções não-lineares de y; por isso é linear (e homogênea).

Resposta

g) ordem 5, não-linear
b) ordem 2, não-linear
d) ordem 3, não-linear
f) ordem 3, não-linear
h) ordem 7, não-linear y' = x\,y: ordem 1, linear (homogênea)

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