Seja n \in \mathbb{N} com n \geq 3 e seja g uma função, definida para x>1 tal que
g^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{n}-x}
Determinar o valor de \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)-g\left(2^{\frac{1}{n-1}}\right).
Sugestão: Faça primeiro o caso n=3.

Alguma fórmulas úteis

  • \operatorname{sen}(2 \alpha)=2 \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha e \cos (2 \alpha)=\cos ^{2} \alpha-\operatorname{sen}^{2} \alpha
  • \operatorname{sen}^{2}(\alpha)=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} e \cos ^{2}(\alpha)=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}
  • \operatorname{sen}(\alpha \pm \beta)=\operatorname{sen} \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \operatorname{sen} \beta
  • \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta

Passo 1

O enunciado diz que g'(x)=\frac{1}{x^n - x} para x>1 e pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(g(x)-g\bigl(2^{\tfrac{1}{n-1}}\bigr)\bigr).
Como g(x)-g(a)=\displaystyle\int_{a}^{x}\frac{dt}{t^n - t}, com a=2^{\tfrac{1}{n-1}}, esse limite vira
\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t^n - t} =\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t\bigl(t^{\,n-1}-1\bigr)}.
Vamos primeiro ver o caso n=3 e depois fazer o geral.

Passo 2

Caso n=3 temos
\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t^3 - t} =\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1)} =\int_{a}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\Bigr)\frac{dt}{2}\,.
Integrando de a=\sqrt2 até \infty obtemos
\frac12\Bigl[\ln|t-1|-\ln|t+1|\Bigr]_{t=\sqrt2}^{t\to\infty} =\frac12\bigl(0-(\ln(\sqrt2-1)-\ln(\sqrt2+1))\bigr) =\frac12\ln\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1} =\frac12\ln2.

Passo 3

Agora para geral n:
\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t\bigl(t^{\,n-1}-1\bigr)}.
Fazemos a mudança de variável
u=t^{\,n-1}, \quad du=(n-1)\,t^{\,n-2}\,dt,
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dt=\frac{du}{(n-1)\,t^{\,n-2}}, \quad t^{\,n-1}=u.
No integrando:
\frac{dt}{t\,(t^{\,n-1}-1)} =\frac{du}{(n-1)\,t^{\,n-1}(u-1)} =\frac{du}{(n-1)\,u\,(u-1)}.
Assim o integral vira
\frac{1}{n-1}\int_{u(a)}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}\Bigr)\,du,
onde u(a)=a^{\,n-1}=2.

Passo 4

Integrando em u e avaliando de 2 a \infty:
\frac{1}{n-1}\Bigl[\ln|u-1|-\ln|u|\Bigr]_{2}^{\infty} =\frac{1}{n-1}\bigl(0-(\ln(2-1)-\ln2)\bigr) =\frac{1}{n-1}\ln2.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\bigl(g(x)-g\bigl(2^{\tfrac{1}{n-1}}\bigr)\bigr) =\frac{\ln2}{\,n-1\,}.

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