Calcule a área da região limitada pela parábola 
  e pela reta 
  entre 
  e 
 . Esboce o gráfico das duas funçōes e represente a região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre a parábola 
  e a reta 
  no intervalo de 
  até 
 . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas funções se encontram dentro do intervalo dado. Isso é importante porque vamos integrar entre esses pontos para encontrar a área.
Passo 3
Vamos resolver a equação 
  para encontrar os pontos de interseção:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Dentro do intervalo de 
  a 
 , o único ponto de interseção relevante é 
 , mas como estamos considerando até 
 , vamos prosseguir com esses limites.
Passo 4
Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração. Vamos testar com 
 :
Então, a reta 
  está acima da parábola 
  nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui, 
  e 
 , e os limites de integração são de 
  a 
 .
Passo 6
Vamos montar a integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores nos limites:
Para :
Para
Para 
 :
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas 
  e 
  entre 
  e 
  é 
  unidades de área.