Calcule a área da região plana delimitada pela curva
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região plana delimitada pela curva
Informações fornecidas:
- A curva é dada implicitamente pela equação
. - A região pedida é a região fechada limitada por essa curva (inclui o possível ponto
).
Não resolvo nada ainda — só organizei o que está sendo pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Escolha do método: a equação envolve
e
, combinações que ficam muito simples em coordenadas polares. Vou usar coordenadas polares, onde cada ponto é escrito por
e
, com
e
o ângulo polar. Explico rápido:
- Em coordenadas polares,
é a distância do ponto à origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - A substituição é
e .
Passo 3
Faço a substituição na equação da curva. Primeiro note que
e
. Substituindo:
Isto dá
Para pontos com
podemos dividir por
e obter
Usando a identidade trigonométrica
, fica
Passo 4
Condições sobre
e
: como
, é necessário ter
. Assim a curva é dada por
e
nos ângulos onde
. No intervalo
temos
para os arcos
Portanto a curva forma duas “pétalas” simétricas: uma entre
e
e outra entre
e
. As extremidades (onde
) correspondem a
, ou seja a pétala fecha na origem.
Passo 5
Estratégia para a área: por simetria as duas pétalas têm a mesma área. Vou calcular a área de uma pétala (por exemplo a que está em
) e multiplicar por 2 para obter a área total.
Passo 6
Fórmula de área em coordenadas polares: se uma curva é dada por
entre ângulos
e
, a área da região limitada por essa curva e os raios
e
é
Racionalização rápida: um setor com raio quase constante
e pequena variação
tem área aproximada de
; integrando dá a fórmula acima.
Passo 7
Aplicando a fórmula à nossa curva. Para uma pétala temos
em
. Assim a área de uma pétala é
Calculo a integral passo a passo. Uma primitiva de
é
, porque
. Portanto
Calculando os cossenos:
e
. Substituindo,
Logo
Como há duas pétalas congruentes, a área total é
Passo 8
Resumo final e interpretação: a região delimitada pela curva consiste em duas pétalas simétricas em volta da origem; cada pétala tem área
e a área total da região fechada é
. Força aí — o resultado é simples e elegante!