Calcule a área da região plana delimitada pela curva
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 x y .

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região plana delimitada pela curva
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2xy.
Informações fornecidas:
  • A curva é dada implicitamente pela equação \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2xy.
  • A região pedida é a região fechada limitada por essa curva (inclui o possível ponto r=0).
    Não resolvo nada ainda — só organizei o que está sendo pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Escolha do método: a equação envolve \,x^{2}+y^{2} e xy, combinações que ficam muito simples em coordenadas polares. Vou usar coordenadas polares, onde cada ponto é escrito por \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta, com r\ge 0 e \theta o ângulo polar. Explico rápido:
  • Em coordenadas polares, r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • A substituição é \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta.

Passo 3

Faço a substituição na equação da curva. Primeiro note que x^{2}+y^{2}=r^{2} e xy=r^{2}\cos\theta\sin\theta. Substituindo:
\bigl(r^{2}\bigr)^{2}=2\bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta\bigr).
Isto dá
r^{4}=2r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Para pontos com r\neq 0 podemos dividir por r^{2} e obter
r^{2}=\;2\cos\theta\sin\theta.
Usando a identidade trigonométrica 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta), fica
r^{2}=\sin(2\theta).

Passo 4

Condições sobre r e \theta: como r^{2}\ge 0, é necessário ter \sin(2\theta)\ge 0. Assim a curva é dada por
r(\theta)=\sqrt{\sin(2\theta)} \quad\text{quando}\quad \sin(2\theta)\ge 0,
e r=0 nos ângulos onde \sin(2\theta)=0. No intervalo 0\le\theta<2\pi temos \sin(2\theta)\ge 0 para os arcos
0\le\theta\le\frac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad \pi\le\theta\le\frac{3\pi}{2}.
Portanto a curva forma duas “pétalas” simétricas: uma entre \theta=0 e \theta=\pi/2 e outra entre \theta=\pi e \theta=3\pi/2. As extremidades (onde \sin2\theta=0) correspondem a r=0, ou seja a pétala fecha na origem.

Passo 5

Estratégia para a área: por simetria as duas pétalas têm a mesma área. Vou calcular a área de uma pétala (por exemplo a que está em [0,\pi/2]) e multiplicar por 2 para obter a área total.

Passo 6

Fórmula de área em coordenadas polares: se uma curva é dada por r=r(\theta) entre ângulos \theta=a e \theta=b, a área da região limitada por essa curva e os raios \theta=a e \theta=b é
A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} r(\theta)^{2}\,d\theta.
Racionalização rápida: um setor com raio quase constante r e pequena variação d\theta tem área aproximada de \tfrac12 r^{2}d\theta; integrando dá a fórmula acima.

Passo 7

Aplicando a fórmula à nossa curva. Para uma pétala temos r^{2}=\sin(2\theta) em \theta\in[0,\pi/2]. Assim a área de uma pétala é
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin(2\theta)\,d\theta.é
Calculo a integral passo a passo. Uma primitiva de \sin(2\theta) é -\tfrac{1}{2}\cos(2\theta), porque \dfrac{d}{d\theta}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\bigr)=\sin(2\theta). Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta = \left[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2} = -\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr).
Calculando os cossenos: \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1. Substituindo,
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta = -\tfrac{1}{2}(-1-1) = -\tfrac{1}{2}(-2)=1.
Logo
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.é
Como há duas pétalas congruentes, a área total é
A_{\text{total}}=2\cdot A_{\text{pétala}}=2\cdot\frac{1}{2}=1.é

Passo 8

Resumo final e interpretação: a região delimitada pela curva consiste em duas pétalas simétricas em volta da origem; cada pétala tem área \tfrac{1}{2} e a área total da região fechada é 1. Força aí — o resultado é simples e elegante!

Resposta

1

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