Encontre o gradiente de f no ponto indicado.
f(x, y)=5 \operatorname{sen} x^{2}+\cos 3 y ;(\sqrt{\pi} / 2,0)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o gradiente de f no ponto indicado.
Dados fornecidos:
  • A função é f(x,y)=5\sin(x^{2})+\cos(3y).
  • O ponto é \bigl(\sqrt{\pi}/2,\,0\bigr).
O que precisa ser entregue: \nabla f\bigl(\sqrt{\pi}/2,0\bigr), isto é, o par ordenado com as derivadas parciais de f em (\sqrt{\pi}/2,0).

Passo 2

Lembrete didático: o gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Derivada parcial em x significa: derivar tratando y como constante. Derivada parcial em y significa: derivar tratando x como constante.
Também vamos usar a regra da cadeia: se h(u)=\sin(u) e u(x)=x^{2}, então
\frac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x.
Vou aplicar essa regra quando derivar \sin(x^{2}). Para \cos(3y) aplico a regra da cadeia em y: derivada é -\sin(3y)\cdot 3.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Começando de f(x,y)=5\sin(x^{2})+\cos(3y):
  • A derivada parcial de 5\sin(x^{2}) em relação a x é 5 vezes a derivada de \sin(x^{2}). Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5\sin(x^{2})\bigr)=5\cdot\bigl(2x\cos(x^{2})\bigr)=10x\cos(x^{2}).
  • A derivada parcial de \cos(3y) em relação a x é 0 porque y é tratado como constante e \cos(3y) não depende de x.
Logo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=10x\cos(x^{2}).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
  • A derivada parcial de 5\sin(x^{2}) em relação a y é 0 porque essa parcela não depende de y.
  • A derivada parcial de \cos(3y) em relação a y usa a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\cos(3y)=-\sin(3y)\cdot 3 = -3\sin(3y).
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-3\sin(3y).

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto \bigl(\sqrt{\pi}/2,\,0\bigr).
Primeiro calcular x^{2} no ponto:
x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^{2}=\frac{\pi}{4}.
Avaliar \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}\!\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2},0\right) =10\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
10\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =10\cdot\frac{\sqrt{\pi}\,\sqrt{2}}{4} =\frac{10}{4}\sqrt{2\pi} =\frac{5}{2}\sqrt{2\pi}.
Avaliar \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}\!\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2},0\right)=-3\sin\!(3\cdot 0)=-3\sin(0)= -3\cdot 0 = 0.

Passo 6

Montar o gradiente no ponto com as componentes encontradas:
\nabla f\!\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2},0\right)=\left(\frac{5}{2}\sqrt{2\pi},\;0\right).
Força aí — esse tipo de derivada por cadeia aparece direto na prova; decorar o esquema (derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna) salva tempo.

Resposta

\nabla f\!\left(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2},0\right)=\left(\dfrac{5}{2}\sqrt{2\pi},\;0\right)

Exercícios relacionados