Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o gradiente de
no ponto indicado.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- A função é
. - O ponto é
.
O que precisa ser entregue:
, isto é, o par ordenado com as derivadas parciais de
em
.
Passo 2
Lembrete didático: o gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e a
:
Derivada parcial em
significa: derivar tratando
como constante. Derivada parcial em
significa: derivar tratando
como constante.
Também vamos usar a regra da cadeia: se
e
, então
Vou aplicar essa regra quando derivar
. Para
aplico a regra da cadeia em
: derivada é
.
Passo 3
Calcular
.
Começando de
:
- A derivada parcial de
em relação a é vezes a derivada de . Usando a regra da cadeia:
Portanto
- A derivada parcial de
em relação a é porque é tratado como constante e não depende de .
Logo:
Passo 4
Calcular
.
- A derivada parcial de
em relação a é porque essa parcela não depende de . - A derivada parcial de
em relação a usa a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Primeiro calcular
no ponto:
Avaliar
:
Sabendo que
, temos
Avaliar
:
Passo 6
Montar o gradiente no ponto com as componentes encontradas:
Força aí — esse tipo de derivada por cadeia aparece direto na prova; decorar o esquema (derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna) salva tempo.