Encontre o gradiente de f no ponto indicado.
f(x, y)=\left(x^{2}+x y\right)^{3} ;(-1,-1)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o gradiente de f no ponto indicado.”
As informações dadas são:
  • A função é f(x,y)=\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{3}.
  • O ponto onde queremos o gradiente é (-1,-1).
O objetivo concreto: calcular \nabla f(-1,-1), isto é, o vetor das derivadas parciais de f em (-1,-1).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos representá‑lo (aula rápida e prática).
  • O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando só alteramos x (mantendo y fixo); analogamente para \frac{\partial f}{\partial y}.
Para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{3} vamos usar a regra da cadeia, porque f é uma composição de uma função externa u\mapsto u^{3} com uma função interna u(x,y)=x^{2}+x y.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia de forma explícita (passo a passo).
Defina a função interna
u(x,y)=x^{2}+x y.
Então podemos escrever
f(x,y)=\bigl(u(x,y)\bigr)^{3}.
A regra da cadeia diz que, para a derivada parcial em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3\bigl(u(x,y)\bigr)^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y).
Agora calculemos \frac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=x^{2}+x y, tratando y como constante,
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(x y)=2x+y.
Logo, reunindo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}\,(2x+y).

Passo 4

Derivada parcial em relação a y (também pela cadeia).
A regra da cadeia para \partial f/\partial y
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3\bigl(u(x,y)\bigr)^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y).
Calcule \frac{\partial u}{\partial y}. Como u(x,y)=x^{2}+x y e x é tratado como constante agora,
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(x y)=0+x= x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}\,x.

Passo 5

Substituir o ponto (-1,-1) e fazer as contas com calma (passo a passo aritmético).
Primeiro calcule u(-1,-1):
u(-1,-1)=(-1)^{2}+(-1)\cdot(-1)=1+1=2.
Calcule u(-1,-1)^{2}:
\bigl(u(-1,-1)\bigr)^{2}=2^{2}=4.
Calcule 2x+y em x=-1,\;y=-1:
2x+y=2(-1)+(-1)=-2-1=-3.
Agora avalie \frac{\partial f}{\partial x} no ponto:
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,-1)=3\cdot 4\cdot(-3)=12\cdot(-3)=-36.
E avalie \frac{\partial f}{\partial y} no ponto (lembre x=-1):
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,-1)=3\cdot 4\cdot(-1)=12\cdot(-1)=-12.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento final.
O resultado \nabla f(-1,-1)=(-36,-12) significa que, no ponto (-1,-1), a taxa de variação instantânea de f na direção do aumento de x é -36 e na direção do aumento de y é -12. Ou seja, se você aumentar x um pouquinho mantendo y fixo, f diminui rápido; o mesmo ocorre para y mas em menor intensidade. Mandou bem por trazer a questão — com calma e prática isso vira automático.

Resposta

\nabla f(-1,-1)=(-36,-12)

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