Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre o gradiente de
no ponto indicado.”
As informações dadas são:
As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto onde queremos o gradiente é
.
O objetivo concreto: calcular
, isto é, o vetor das derivadas parciais de
em
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos representá‑lo (aula rápida e prática).
- O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e a :
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só alteramos (mantendo fixo); analogamente para .
Para calcular as derivadas parciais de
vamos usar a regra da cadeia, porque
é uma composição de uma função externa
com uma função interna
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia de forma explícita (passo a passo).
Defina a função interna
Defina a função interna
Então podemos escrever
A regra da cadeia diz que, para a derivada parcial em relação a
,
Agora calculemos
. Como
, tratando
como constante,
Logo, reunindo,
Passo 4
Derivada parcial em relação a
(também pela cadeia).
A regra da cadeia para dá
A regra da cadeia para
Calcule
. Como
e
é tratado como constante agora,
Portanto
Passo 5
Substituir o ponto
e fazer as contas com calma (passo a passo aritmético).
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Calcule
:
Calcule
em
:
Agora avalie
no ponto:
E avalie
no ponto (lembre
):
Passo 6
Interpretação curta e encorajamento final.
O resultado significa que, no ponto
, a taxa de variação instantânea de
na direção do aumento de
é
e na direção do aumento de
é
. Ou seja, se você aumentar
um pouquinho mantendo
fixo,
diminui rápido; o mesmo ocorre para
mas em menor intensidade. Mandou bem por trazer a questão — com calma e prática isso vira automático.
O resultado