Calcule a área da região plana delimitada pela curva
Passo 1
O enunciado pede a área da região plana delimitada pela curva
Informações relevantes do enunciado:
- A curva é dada implicitamente por
. - Quer-se a área da região fechada limitada por essa curva.
Observações úteis (sem resolver ainda): - O termo
tem sinal do mesmo sinal de , enquanto para todos . Então, para pontos da curva deve ocorrer , isto é . Portanto a curva está inteiramente no semiplano superior . - O ponto
satisfaz a equação; quando a equação dá então o único ponto sobre o eixo é a origem. Assim a região é um laço fechado tocando a origem e contido em .
Passo 2
Escolha do método: coordenadas polares são convenientes porque a equação tem potências simétricas e a substituição
transforma potências em fatores de
multiplicados por funções de
. Vamos fazer essa substituição.
Substituindo
e
na equação, obtemos
Dividindo ambos os lados por
(caso
corresponde à origem, já mencionada), chega-se a
Passo 3
Interpretação do
:
- A fórmula
dá quando , isto é para . Como já observamos que a curva está em , faz sentido tomar variando de a . - Para
ou tem e, portanto, (origem). Para tem e também . Entre esses ângulos é positivo e descreve o laço superior.
Logo a curva é descrita em coordenadas polares por
com
indo de
até
.
Passo 4
Fórmula da área em coordenadas polares: a área de uma região descrita por
para
é
Aqui
e
. Substituindo
obtemos
Passo 5
Para integrar, fazemos a substituição padrão
. Então
Calculemos as peças:
Assim o integrando vezes
fica
Note que houve várias simplificações de potências de
.
Passo 6
Transformando os limites: quando
vai de
a
,
vai de
a
; quando
vai de
a
,
vai de
a
. Portanto a integral sobre
corresponde a
variando por toda a reta real de
a
. Assim
A função
é par (dependente de
), logo a integral sobre
é o dobro da integral sobre
. Assim
Passo 7
Para computar
fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. Além disso
. Portanto
Passo 8
Agora avaliamos a integral padrão
Uma forma simples: use
com
. Então
e
Logo
E
Portanto
Passo 9
Voltando a
,
Como
(veja Passo 6), concluímos que a área procurada é