Calcule a área da região plana delimitada pela curva
x^{6}+y^{6}=x^{4} y .

Passo 1

O enunciado pede a área da região plana delimitada pela curva
x^{6}+y^{6}=x^{4}y.
Informações relevantes do enunciado:
  • A curva é dada implicitamente por \;x^{6}+y^{6}=x^{4}y.
  • Quer-se a área da região fechada limitada por essa curva.
    Observações úteis (sem resolver ainda):
  • O termo x^{4}y tem sinal do mesmo sinal de y, enquanto x^{6}+y^{6}\ge 0 para todos x,y. Então, para pontos da curva deve ocorrer x^{4}y\ge 0, isto é y\ge 0. Portanto a curva está inteiramente no semiplano superior y\ge 0.
  • O ponto (0,0) satisfaz a equação; quando y=0 a equação dá x^{6}=0 então o único ponto sobre o eixo x é a origem. Assim a região é um laço fechado tocando a origem e contido em y\ge0.

Passo 2

Escolha do método: coordenadas polares são convenientes porque a equação tem potências simétricas e a substituição x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta transforma potências em fatores de r multiplicados por funções de \theta. Vamos fazer essa substituição.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na equação, obtemos
r^{6}\bigl(\cos^{6}\theta+\sin^{6}\theta\bigr)=r^{5}\cos^{4}\theta\sin\theta.
Dividindo ambos os lados por r^{5} (caso r=0 corresponde à origem, já mencionada), chega-se a
r=\frac{\cos^{4}\theta\sin\theta}{\cos^{6}\theta+\sin^{6}\theta}.

Passo 3

Interpretação do r(\theta):
  • A fórmula \;r(\theta)=\dfrac{\cos^{4}\theta\sin\theta}{\cos^{6}\theta+\sin^{6}\theta}\; r\ge0 quando \sin\theta\ge0, isto é para \theta\in[0,\pi]. Como já observamos que a curva está em y\ge0, faz sentido tomar \theta variando de 0 a \pi.
  • Para \theta=0 ou \theta=\pi tem \sin\theta=0 e, portanto, r=0 (origem). Para \theta=\pi/2 tem \cos\theta=0 e também r=0. Entre esses ângulos r(\theta) é positivo e descreve o laço superior.
Logo a curva é descrita em coordenadas polares por r(\theta) com \theta indo de 0 até \pi.

Passo 4

Fórmula da área em coordenadas polares: a área de uma região descrita por r(\theta) para \theta\in[\alpha,\beta] é
A=\tfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^{2}\,d\theta.
Aqui \alpha=0 e \beta=\pi. Substituindo r(\theta) obtemos
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{\cos^{8}\theta\sin^{2}\theta}{\bigl(\cos^{6}\theta+\sin^{6}\theta\bigr)^{2}}\,d\theta.

Passo 5

Para integrar, fazemos a substituição padrão t=\tan\theta. Então
\sin\theta=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},\qquad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\qquad d\theta=\frac{dt}{1+t^{2}}.
Calculemos as peças:
\cos^{6}\theta+\sin^{6}\theta=\frac{1+t^{6}}{(1+t^{2})^{3}},
\cos^{8}\theta\sin^{2}\theta=\frac{1}{(1+t^{2})^{4}}\cdot\frac{t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{5}}.
Assim o integrando vezes d\theta fica
\frac{\cos^{8}\theta\sin^{2}\theta}{\bigl(\cos^{6}\theta+\sin^{6}\theta\bigr)^{2}}\,d\theta = \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{5}}\cdot\frac{(1+t^{2})^{6}}{(1+t^{6})^{2}}\cdot\frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{t^{2}}{(1+t^{6})^{2}}\,dt.
Note que houve várias simplificações de potências de 1+t^{2}.

Passo 6

Transformando os limites: quando \theta vai de 0 a \pi/2, t=\tan\theta vai de 0 a +\infty; quando \theta vai de \pi/2 a \pi, t vai de -\infty a 0. Portanto a integral sobre \theta\in[0,\pi] corresponde a t variando por toda a reta real de -\infty a +\infty. Assim
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\!\!\cdots\,d\theta =\tfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t^{2}}{(1+t^{6})^{2}}\,dt.
A função \dfrac{t^{2}}{(1+t^{6})^{2}} é par (dependente de t^{2}), logo a integral sobre (-\infty,\infty) é o dobro da integral sobre (0,\infty). Assim
A=\tfrac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2}}{(1+t^{6})^{2}}\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2}}{(1+t^{6})^{2}}\,dt.

Passo 7

Para computar
I=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2}}{(1+t^{6})^{2}}\,dt
fazemos a substituição u=t^{3}. Então du=3t^{2}dt, ou seja t^{2}dt=\tfrac{1}{3}\,du. Além disso 1+t^{6}=1+u^{2}. Portanto
I=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2}}{(1+t^{6})^{2}}\,dt =\frac{1}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{du}{(1+u^{2})^{2}}.

Passo 8

Agora avaliamos a integral padrão
\int_{0}^{\infty}\frac{du}{(1+u^{2})^{2}}.
Uma forma simples: use u=\tan\varphi com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Então du=\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi e
\frac{du}{(1+u^{2})^{2}}=\frac{\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi}{\operatorname{sec}^{4}\varphi}=\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
Logo
\int_{0}^{\infty}\frac{du}{(1+u^{2})^{2}}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
E
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1+\cos 2\varphi\bigr)d\varphi =\frac{1}{2}\left[\varphi+\tfrac{1}{2}\sin 2\varphi\right]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.
Portanto
\int_{0}^{\infty}\frac{du}{(1+u^{2})^{2}}=\frac{\pi}{4}.

Passo 9

Voltando a I,
I=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}.
Como A=I (veja Passo 6), concluímos que a área procurada é
A=\frac{\pi}{12}.

Resposta

\dfrac{\pi}{12}

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