Calcule a área da região R determinada pela curva dada, para:
R: y=x^{2}-4 x, eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R delimitada pela curva
y = x^2 - 4x
e o eixo x. O conteúdo envolve cálculo de área entre uma curva e o eixo usando integral definida. Para resolver, vamos: 1) encontrar pontos de interseção com o eixo x, 2) verificar em que lado da curva está o eixo, e 3) montar e calcular a integral apropriada.

Passo 2

Encontrar interseções de y = x^2 - 4x com o eixo x resolvendo
x^2 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x - 4) = 0.
Assim, os pontos de interseção são x = 0 e x = 4.

Passo 3

Determinar o sinal de y no intervalo [0,4]. Por exemplo, em x = 2 temos
y(2) = 2^2 - 4\cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0,
logo a curva está abaixo do eixo x em todo o intervalo. Para calcular a área, usamos a função não negativa
\lvert y\rvert = -(x^2 - 4x) = 4x - x^2.

Passo 4

Escrever a integral definida para a área:
A = \int_{0}^{4} \bigl(4x - x^2\bigr)\,dx.
Calcular a antiderivada:
\int (4x - x^2)\,dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3}.
Avaliar de 0 a 4:
A = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} = \Bigl(2\cdot4^2 - \frac{4^3}{3}\Bigr) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}.

Resposta

A área da região R é \displaystyle \frac{32}{3}.

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