Calcule a área da região R determinada pela curva dada, para:
R: y=8 x-x^{2}, eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela curva
y = 8x - x^2
e pelo eixo x.
O conteúdo aplicado é cálculo de área pelo método de integração definida, em que precisamos achar os pontos de interseção da curva com o eixo x e depois integrar a função no intervalo determinado.

Passo 2

Encontrar onde a curva cruza o eixo x resolvendo
8x - x^2 = 0.
Fatorando, temos
x(8 - x) = 0
logo as raízes são
x = 0 \quad\text{e}\quad x = 8.

Passo 3

Entre x=0 e x=8 a parábola está acima do eixo x, então a área é dada pela integral
A = \int_{0}^{8} \bigl(8x - x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a primitiva de 8x - x^2:
\int (8x - x^2)\,dx = 4x^2 - \frac{x^3}{3}.

Passo 5

Avaliar a primitiva de 0 a 8:
A = \Bigl[4x^2 - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{8} = \Bigl(4\cdot 8^2 - \tfrac{8^3}{3}\Bigr) - 0 = 256 - \tfrac{512}{3} = \tfrac{768 - 512}{3} = \tfrac{256}{3}.

Resposta

A área da região R é \displaystyle \tfrac{256}{3}.

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