Calcule a área da região R determinada pela curva dada, para:
R: y=\sqrt{x^{2}-2 x}, para x \in[3,7].

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y = \sqrt{x^2 - 2x} para x variando de 3 a 7.
O conteúdo principal aqui é calcular uma integral definida da forma
\int_{3}^{7} \sqrt{x^2 - 2x}\,dx,
onde usaremos completar o quadrado e a fórmula para \displaystyle \int \sqrt{u^2 - a^2}\,du.

Passo 2

Observamos que em [3,7] a expressão dentro da raiz é não negativa, pois
x^2 - 2x = x(x-2)\ge0
para x\ge2. Logo a área A é
A = \int_{3}^{7} \sqrt{x^2 - 2x}\,dx.

Passo 3

Para aplicar a fórmula padrão, completamos o quadrado:
x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1.
Assim
A = \int_{3}^{7} \sqrt{(x-1)^2 - 1}\,dx.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = x - 1,\quad du = dx.
Quando x=3, u=2; quando x=7, u=6. Portanto
A = \int_{2}^{6} \sqrt{u^2 - 1}\,du.

Passo 5

Usamos a antiderivada conhecida
\int \sqrt{u^2 - a^2}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^2 - a^2}\bigr| + C,
com a=1. Logo uma primitiva de \sqrt{u^2 - 1} é
F(u) = \frac{u}{2}\sqrt{u^2 - 1} - \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{u^2 - 1}\bigr).

Passo 6

Avaliamo-la de u=2 a u=6:
A = \Bigl[F(6) - F(2)\Bigr] = \Bigl(3\sqrt{35} - \tfrac12\ln(6 + \sqrt{35})\Bigr) - \Bigl(\sqrt{3} - \tfrac12\ln(2 + \sqrt{3})\Bigr).

Passo 7

Reunindo termos, obtemos
A = 3\sqrt{35} \;-\;\sqrt{3} \;-\;\frac{1}{2}\Bigl[\ln(6 + \sqrt{35}) - \ln(2 + \sqrt{3})\Bigr] \;=\; 3\sqrt{35} - \sqrt{3} - \tfrac12\ln\!\biggl(\frac{6 + \sqrt{35}}{2 + \sqrt{3}}\biggr).

Resposta

\boxed{ A = 3\sqrt{35} \;-\;\sqrt{3} \;-\;\frac12\ln\!\biggl(\frac{6 + \sqrt{35}}{2 + \sqrt{3}}\biggr) }.

Exercícios relacionados