Calcule a área das regiões determinadas por:
y=x-2, y=e^-2 x e x >= 1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y1 = x - 2, y2 = e^-2x
e pela reta vertical x=1. Essa região é finita porque as duas curvas se intersectam em algum x=a>1. Para calcular a área, vamos:
  1. encontrar o ponto de interseção a,
  2. montar a integral A=integral1^a[y2 - y1],dx,
  3. calcular a integral,
  4. substituir a numericamente.

Passo 2

O ponto de interseção a satisfaz
x - 2 = e^-2x,
Não há solução elementar fechada, mas podemos expressar em termos da função de Lambert W ou achar numericamente. Usando Newton ou a equação equivalente
(x-2)e^2x=1,
obtemos a aproximação
a approx 2,01768,

Passo 3

A área é
A = integral1^al(e^-2x - (x-2)r),dx,

Passo 4

Calculemos a primitiva de cada termo. Para e^-2x:
integral e^-2xdx = -tfrac12,e^-2x,,
e para x-2:
integral(x-2)dx = tfracx^22 - 2x,
Logo,
A = l[-tfrac12e^-2x-l(tfracx^22-2xr)r]1^a = l(-tfrac12e^-2a-tfraca^22+2ar) -l(-tfrac12e^-2-tfrac12+2r)
Como em x=a temos e^-2a=a-2, obtemos após simplificar
A = -tfraca^22 + tfrac3a2 - tfrac12 + tfrac12e^-2,

Passo 5

Substituindo aapprox2,01768 e e^-2approx0,135335 em
A = -tfraca^22 + tfrac3a2 - tfrac12 + tfrac12e^-2
vem
A approx 0,55865

Resposta

A approx 0,559 unidades de área.

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