Calcule a área das regiões determinadas por:
y=1raizx(x+1) e o eixo dos x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
y=1raizx(x+1)
e o eixo x. Isso corresponde ao cálculo da integral imprópria
A=integral0^infty1raizx,(x+1),dx
Para resolver, vamos usar uma substituição que elimina o radical.

Passo 2

Antes de calcular, verificamos a convergência da integral; perto de x=0,
1raizx(x+1)sim x^-1/2 e
integral0x^-1/2dx converge; para xtoinfty,
1raizx(x+1)sim x^-3/2 e
integral^inftyx^-3/2dx também converge. Logo, a área é finita.

Passo 3

Façamos a substituição
x = t^2, dx = 2t,dt, raizx=t
Substituindo na integral, temos
A = integral0^infty1t,(t^2+1);2t,dt =2integral0^infty1t^2+1,dt

Passo 4

O integral resultante é
integral0^infty11+t^2,dt =l[arctan tr]0^infty =pi2
Multiplicando por 2, obtemos
A=2cdotpi2=pi

Passo 5

Concluímos que a área sob a curva e acima do eixo x, de x=0 até xtoinfty, é pi.

Resposta

A área da região é pi.

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