Calcule a área das regiões limitada pelas curvas C_{1}: x=t^{3}-1, y=t^{2} \mathrm{e} C_{2}: y=1-x^{2}.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede a(s) área(s) das regiões limitadas por elas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Curva C_{1} dada parametricamente por
x=t^{3}-1,\qquad y=t^{2},\qquad t\in\mathbb{R}.
Curva C_{2} dada pela parábola
y=1-x^{2}.
Pedido: calcular as áreas das regiões limitadas pelas duas curvas (o enunciado usa plural, então devemos identificar todas as regiões fechadas formadas pela interseção dessas curvas e calcular cada área).
Informações relevantes do enunciado:
A curva C_{1} tem y\ge0 (porque y=t^{2}).
As interseções entre as curvas ocorrem quando existe t tal que o ponto paramétrico de C_{1} satisfaz a equação de C_{2}. Encontrar esses pontos é o primeiro passo para identificar as regiões fechadas.
Passo 2
Encontrar as interseções: substituir x=t^{3}-1 e y=t^{2} na equação de C_{2}:
t^{2}=1-(t^{3}-1)^{2}.
Desenvolvendo a direita:
1-(t^{3}-1)^{2}=1-(t^{6}-2t^{3}+1)=-t^{6}+2t^{3}.
Passando tudo para o mesmo lado:
t^{6}+t^{2}-2t^{3}=0.
Fatorando t^{2}:
t^{2}\bigl(t^{4}-2t+1\bigr)=0.
Logo as soluções são t=0 (com multiplicidade 2) e as raízes da quartica t^{4}-2t+1=0. Observamos que t=1 é raíz dessa quartica, pois 1-2+1=0. Fazendo divisão polinomial:
t^{4}-2t+1=(t-1)(t^{3}+t^{2}+t-1).
A equação cúbica t^{3}+t^{2}+t-1=0 tem exatamente uma raiz real (derivada positiva em todo lugar), chamaremos essa raiz de r. Resumindo, os valores de t que dão interseção são:
t=0,\qquad t=r,\qquad t=1,
onde r é o único número real tal que
r^{3}+r^{2}+r-1=0.
Vamos anotar as coordenadas dos pontos de interseção (usando x=t^{3}-1,\;y=t^{2}):
Para t=0: ponto \bigl(-1,0\bigr).
Para t=r: ponto \bigl(r^{3}-1,\;r^{2}\bigr).
Para t=1: ponto \bigl(0,1\bigr).
Numérica aproximada (para entendimento): resolvendo numericamente r\approx 0{,}543689, então o ponto corresponde aproximadamente a (-0{,}8393,\;0{,}2956).
Passo 3
Identificar as regiões fechadas e qual curva fica acima em cada intervalo em t.
Para t entre 0 e 1 a curva C_{1} descreve o arco que vai de (-1,0) até (0,1) passando pelo ponto interno correspondente a t=r. Portanto, entre x=-1 e x=0 as duas curvas se encontram em três pontos e dividem a banda em duas regiões fechadas.
Precisamos saber, em cada subintervalo t\in[0,r] e t\in[r,1], qual curva está por cima (para montar integral de área corretamente). Compare y das curvas avaliando um ponto de teste:
Em t=0{,}3 (está no intervalo [0,r]) temos y_{C_{1}}=0{,}3^{2}=0{,}09 e x=0{,}3^{3}-1\approx-0{,}973. Em x\approx-0{,}973, y_{C_{2}}=1-x^{2}\approx1-0{,}946=0{,}054. Então y_{C_{1}}>y_{C_{2}} em [0,r].
Em t=0{,}7 (está em [r,1]) temos y_{C_{1}}=0{,}49 e x\approx-0{,}657. Em x\approx-0{,}657, y_{C_{2}}\approx0{,}569. Então y_{C_{2}}>y_{C_{1}} em [r,1].
Conclusão: entre t=0 e t=r a curva C_{1} está acima da parábola C_{2}; entre t=r e t=1 a parábola C_{2} está acima de C_{1}. Assim há duas regiões limitadas pelas curvas: uma pequena entre t=0 e t=r e outra entre t=r e t=1.
Passo 4
Montar as integrais de área usando parametrização. Regra básica (aula rápida): a área entre duas curvas y_{\text{sup}}(x) e y_{\text{inf}}(x) entre x=a e x=b é
Quando uma das curvas é dada parametricamente por x=x(t),\;y=y(t) e x(t) é monotônica no intervalo considerado, podemos fazer a mudança de variável dx=x'(t)\,dt. No nosso caso x'(t)=3t^{2}\ge0 (não-negativo), logo é válido integrar em t.
Para a diferença das ordens já decididas:
Para t\in[0,r] (primeira região), y_{C_{1}}-y_{C_{2}}=t^{2}-\bigl(1-(t^{3}-1)^{2}\bigr).
Para t\in[r,1] (segunda região), y_{C_{2}}-y_{C_{1}}=\bigl(1-(t^{3}-1)^{2}\bigr)-t^{2}.
Calcule a expressão simplificada da diferença (aparece em ambas com sinal trocado):
A ideia é reduzir potências altas de r (como r^{4},r^{5},r^{6},r^{9}) em termos de 1,r,r^{2} usando essa relação repetidamente. Vamos calcular sucessivas potências necessárias:
Total das duas regiões A_{1}+A_{2}\approx0{,}0748179.
(Dica prática para prova: se o enunciado pedir somente a área total entre as curvas entre x=-1 e x=0, basta somar A_{1}+A_{2}. Se pedir separadamente, use as fórmulas acima. Para cálculo sem calculadora você pode manter as expressões em termos de r e usar a relação cúbica para simplificar potências altas, como fizemos.)
Resposta
A_{1}=\dfrac{-10+6r+23r^{2}}{15}, onde r é a raiz real de \;r^{3}+r^{2}+r-1=0; numericamente A_{1}\approx0{,}0040756.\n A_{2}=\dfrac{-9+6r+23r^{2}}{15}, onde r é a raiz real de \;r^{3}+r^{2}+r-1=0; numericamente A_{2}\approx0{,}0707423.