Calcule a área das regiões limitada pelas curvas C_{1}: x=t^{3}-1, y=t^{2} \mathrm{e} C_{2}: y=1-x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede a(s) área(s) das regiões limitadas por elas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Curva C_{1} dada parametricamente por
x=t^{3}-1,\qquad y=t^{2},\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Curva C_{2} dada pela parábola
y=1-x^{2}.
  • Pedido: calcular as áreas das regiões limitadas pelas duas curvas (o enunciado usa plural, então devemos identificar todas as regiões fechadas formadas pela interseção dessas curvas e calcular cada área).
Informações relevantes do enunciado:
  • A curva C_{1} tem y\ge0 (porque y=t^{2}).
  • As interseções entre as curvas ocorrem quando existe t tal que o ponto paramétrico de C_{1} satisfaz a equação de C_{2}. Encontrar esses pontos é o primeiro passo para identificar as regiões fechadas.

Passo 2

Encontrar as interseções: substituir x=t^{3}-1 e y=t^{2} na equação de C_{2}:
t^{2}=1-(t^{3}-1)^{2}.
Desenvolvendo a direita:
1-(t^{3}-1)^{2}=1-(t^{6}-2t^{3}+1)=-t^{6}+2t^{3}.
Passando tudo para o mesmo lado:
t^{6}+t^{2}-2t^{3}=0.
Fatorando t^{2}:
t^{2}\bigl(t^{4}-2t+1\bigr)=0.
Logo as soluções são t=0 (com multiplicidade 2) e as raízes da quartica t^{4}-2t+1=0. Observamos que t=1 é raíz dessa quartica, pois 1-2+1=0. Fazendo divisão polinomial:
t^{4}-2t+1=(t-1)(t^{3}+t^{2}+t-1).
A equação cúbica t^{3}+t^{2}+t-1=0 tem exatamente uma raiz real (derivada positiva em todo lugar), chamaremos essa raiz de r. Resumindo, os valores de t que dão interseção são:
t=0,\qquad t=r,\qquad t=1,
onde r é o único número real tal que
r^{3}+r^{2}+r-1=0.
Vamos anotar as coordenadas dos pontos de interseção (usando x=t^{3}-1,\;y=t^{2}):
  • Para t=0: ponto \bigl(-1,0\bigr).
  • Para t=r: ponto \bigl(r^{3}-1,\;r^{2}\bigr).
  • Para t=1: ponto \bigl(0,1\bigr).
Numérica aproximada (para entendimento): resolvendo numericamente r\approx 0{,}543689, então o ponto corresponde aproximadamente a (-0{,}8393,\;0{,}2956).

Passo 3

Identificar as regiões fechadas e qual curva fica acima em cada intervalo em t.
  • Para t entre 0 e 1 a curva C_{1} descreve o arco que vai de (-1,0) até (0,1) passando pelo ponto interno correspondente a t=r. Portanto, entre x=-1 e x=0 as duas curvas se encontram em três pontos e dividem a banda em duas regiões fechadas.
  • Precisamos saber, em cada subintervalo t\in[0,r] e t\in[r,1], qual curva está por cima (para montar integral de área corretamente). Compare y das curvas avaliando um ponto de teste:
    • Em t=0{,}3 (está no intervalo [0,r]) temos y_{C_{1}}=0{,}3^{2}=0{,}09 e x=0{,}3^{3}-1\approx-0{,}973. Em x\approx-0{,}973, y_{C_{2}}=1-x^{2}\approx1-0{,}946=0{,}054. Então y_{C_{1}}>y_{C_{2}} em [0,r].
    • Em t=0{,}7 (está em [r,1]) temos y_{C_{1}}=0{,}49 e x\approx-0{,}657. Em x\approx-0{,}657, y_{C_{2}}\approx0{,}569. Então y_{C_{2}}>y_{C_{1}} em [r,1].
  • Conclusão: entre t=0 e t=r a curva C_{1} está acima da parábola C_{2}; entre t=r e t=1 a parábola C_{2} está acima de C_{1}. Assim há duas regiões limitadas pelas curvas: uma pequena entre t=0 e t=r e outra entre t=r e t=1.

Passo 4

Montar as integrais de área usando parametrização. Regra básica (aula rápida): a área entre duas curvas y_{\text{sup}}(x) e y_{\text{inf}}(x) entre x=a e x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.Á
Quando uma das curvas é dada parametricamente por x=x(t),\;y=y(t) e x(t) é monotônica no intervalo considerado, podemos fazer a mudança de variável dx=x'(t)\,dt. No nosso caso x'(t)=3t^{2}\ge0 (não-negativo), logo é válido integrar em t.
Para a diferença das ordens já decididas:
  • Para t\in[0,r] (primeira região), y_{C_{1}}-y_{C_{2}}=t^{2}-\bigl(1-(t^{3}-1)^{2}\bigr).
  • Para t\in[r,1] (segunda região), y_{C_{2}}-y_{C_{1}}=\bigl(1-(t^{3}-1)^{2}\bigr)-t^{2}.
Calcule a expressão simplificada da diferença (aparece em ambas com sinal trocado):
t^{2}-\bigl(1-(t^{3}-1)^{2}\bigr)=t^{2}+t^{6}-2t^{3}=t^{6}+t^{2}-2t^{3}.
Multiplicando por dx= x'(t)\,dt = 3t^{2}\,dt obtemos o integrando padrão:
3t^{2}\bigl(t^{6}+t^{2}-2t^{3}\bigr)=3\bigl(t^{8}+t^{4}-2t^{5}\bigr).
Portanto:
  • Área da região para t\in[0,r] (onde C_{1} está acima) é
A_{1}=\int_{0}^{r}3\bigl(t^{8}+t^{4}-2t^{5}\bigr)\,dt.
  • Área da região para t\in[r,1] (onde C_{2} está acima) é
A_{2}=\int_{r}^{1}3\bigl(-t^{8}-t^{4}+2t^{5}\bigr)\,dt
ou, mais convenientemente,
A_{2}=\int_{r}^{1}3\bigl(2t^{5}-t^{8}-t^{4}\bigr)\,dt.

Passo 5

Calcular a primitiva: integrar termo a termo.
Para
G(t)=3\bigl(t^{8}+t^{4}-2t^{5}\bigr)=3t^{8}+3t^{4}-6t^{5},
uma primitiva F(t) é
F(t)=\frac{t^{9}}{3}+\frac{3t^{5}}{5}-t^{6},
pois derivando F(t) obtemos t^{8}+3t^{4}-6t^{5} multiplicado por constantes corretas (verifique, é a antiderivada direta).
Assim:
A_{1}=F(r)-F(0)=F(r),
e
A_{2}=\bigl(-F(t)\bigr)\Big|_{t=r}^{t=1}=F(r)-F(1).
(Explicação rápida: A_{2}=\int_{r}^{1}-G(t)\,dt=-(F(1)-F(r))=F(r)-F(1).)
Calculamos F(1) imediatamente:
F(1)=\frac{1}{3}+\frac{3}{5}-1=\frac{5+9-15}{15}=-\frac{1}{15}.

Passo 6

Expressar F(r) de forma simples usando a relação que r satisfaz:
r^{3}+r^{2}+r-1=0\quad\Longrightarrow\quad r^{3}=1-r-r^{2}.
A ideia é reduzir potências altas de r (como r^{4},r^{5},r^{6},r^{9}) em termos de 1,r,r^{2} usando essa relação repetidamente. Vamos calcular sucessivas potências necessárias:
  • r^{4}=r\cdot r^{3}=r(1-r-r^{2})=2r-1.
  • r^{5}=r\cdot r^{4}=r(2r-1)=2r^{2}-r.
  • r^{6}=r\cdot r^{5}=r(2r^{2}-r)=2r^{3}-r^{2}=2(1-r-r^{2})-r^{2}=2-2r-3r^{2}.
  • r^{7}=r\cdot r^{6}=r(2-2r-3r^{2})=5r+r^{2}-3. (calculei e simplifiquei usando r^{3}=1-r-r^{2})
  • r^{8}=r\cdot r^{7}=1-4r+4r^{2}.
  • r^{9}=r\cdot r^{8}=4-3r-8r^{2}.
Agora substituímos em F(r)=\dfrac{r^{9}}{3}+\dfrac{3r^{5}}{5}-r^{6}:
  • \dfrac{r^{9}}{3}=\dfrac{4-3r-8r^{2}}{3}.
  • \dfrac{3r^{5}}{5}=\dfrac{3(2r^{2}-r)}{5}=\dfrac{6r^{2}-3r}{5}.
  • -r^{6}=-(2-2r-3r^{2})=-2+2r+3r^{2}.
Somando os três termos (com denom. comum 15) obtemos, após juntar termos:
F(r)=\frac{-10+6r+23r^{2}}{15}.

Passo 7

Agora escrevemos A_{1} e A_{2} em formas simples e avaliamos numericamente para dar uma resposta final clara.
  • Como A_{1}=F(r), temos
A_{1}=\frac{-10+6r+23r^{2}}{15}.
  • Como A_{2}=F(r)-F(1)=F(r)+\dfrac{1}{15}, temos
A_{2}=\frac{-9+6r+23r^{2}}{15}.
Usando a aproximação numérica r\approx0{,}543689 (raiz real de r^{3}+r^{2}+r-1=0):
  • r^{2}\approx0{,}295603.
  • Então A_{1}\approx\frac{-10+6(0{,}543689)+23(0{,}295603)}{15}\approx0{,}0040756,e A_{2}\approx\frac{-9+6(0{,}543689)+23(0{,}295603)}{15}\approx0{,}0707423.
  • Total das duas regiões A_{1}+A_{2}\approx0{,}0748179.
(Dica prática para prova: se o enunciado pedir somente a área total entre as curvas entre x=-1 e x=0, basta somar A_{1}+A_{2}. Se pedir separadamente, use as fórmulas acima. Para cálculo sem calculadora você pode manter as expressões em termos de r e usar a relação cúbica para simplificar potências altas, como fizemos.)

Resposta

A_{1}=\dfrac{-10+6r+23r^{2}}{15}, onde r é a raiz real de \;r^{3}+r^{2}+r-1=0; numericamente A_{1}\approx0{,}0040756.\n
A_{2}=\dfrac{-9+6r+23r^{2}}{15}, onde r é a raiz real de \;r^{3}+r^{2}+r-1=0; numericamente A_{2}\approx0{,}0707423.

Exercícios relacionados