Calcule a área da região entre as curvas:
\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos (t) \\\ y=2 \sin (t)\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}x=\cos (t) \\\ y=\sin (t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas paramétricas fechadas e pede a área da região entre elas. Informações fornecidas:
  • Primeira curva: x=4\cos(t),\; y=2\sin(t).
  • Segunda curva: x=\cos(t),\; y=\sin(t).
  • Cada curva é percorrida quando t varia de 0 a 2\pi (ou seja, são fechadas e descritas uma vez para t\in[0,2\pi]).
    Pergunta: calcular a área da região que fica entre essas duas curvas (a diferença entre a área encerrada pela primeira e a área encerrada pela segunda).

Passo 2

Vamos usar uma fórmula prática para área de uma curva parametrizada que é fácil de aplicar aqui. Se uma curva fechada é dada por x=x(t),\;y=y(t) para t de a até b e é simples (não se cruza), a área A do interior dessa curva pode ser calculada por
A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\bigl(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\bigr)\,dt.
Explicando de maneira simples: essa fórmula vem do Teorema de Green e transforma uma integral de área bidimensional em uma integral ao longo da borda. Aqui x'(t) e y'(t) significam as derivadas de x e y em relação a t. Vamos aplicar essa fórmula a cada curva para obter as áreas individuais e depois subtrair.

Passo 3

Calcular a área da primeira curva (a elipse). Dados:
x(t)=4\cos(t),\qquad y(t)=2\sin(t),\qquad t\in[0,2\pi].
Derivadas:
x'(t)=-4\sin(t),\qquad y'(t)=2\cos(t).
Agora o integrando:
x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)=(4\cos t)(2\cos t)-(2\sin t)(-4\sin t).
Calcule passo a passo:
(4\cos t)(2\cos t)=8\cos^2 t,
(2\sin t)(-4\sin t)=-8\sin^2 t,
logo
x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)=8\cos^2 t+8\sin^2 t=8(\cos^2 t+\sin^2 t)=8.
Assim a área da elipse é
A_{\text{elipse}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}8\,dt=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot(2\pi)=8\pi.
(Observação didática: deu constante 8 porque a parametrização é uma homotecia nas direções x e y; essa é uma maneira prática de chegar no resultado. Também se poderia usar a fórmula conhecida A=\pi a b para elipse com semi-eixos a=4,\;b=2, obtendo A=\pi\cdot4\cdot2=8\pi.)

Passo 4

Calcular a área da segunda curva (o círculo unidade). Dados:
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Derivadas:
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Integrando:
x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)=(\cos t)(\cos t)-(\sin t)(- \sin t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Logo
A_{\text{círculo}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,dt=\frac{1}{2}\cdot(2\pi)=\pi.í
(Observação didática: é o famoso círculo de raio 1, área \pi\cdot1^2=\pi.)

Passo 5

Agora a área da região entre as curvas é a diferença entre a área da elipse e a área do círculo, porque a elipse fica sempre fora do círculo (pode-se checar que a distância ao centro da elipse mínima é 2, maior que 1). Portanto:
A_{\text{entre}}=A_{\text{elipse}}-A_{\text{círculo}}=8\pi-\pi=7\pi.í

Resposta

7\pi

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