Calcule a área da região entre as curvas:
e
Passo 1
O enunciado dá duas curvas paramétricas fechadas e pede a área da região entre elas. Informações fornecidas:
- Primeira curva:
. - Segunda curva:
. - Cada curva é percorrida quando
varia de a (ou seja, são fechadas e descritas uma vez para ).
Pergunta: calcular a área da região que fica entre essas duas curvas (a diferença entre a área encerrada pela primeira e a área encerrada pela segunda).
Passo 2
Vamos usar uma fórmula prática para área de uma curva parametrizada que é fácil de aplicar aqui. Se uma curva fechada é dada por
para
de
até
e é simples (não se cruza), a área
do interior dessa curva pode ser calculada por
Explicando de maneira simples: essa fórmula vem do Teorema de Green e transforma uma integral de área bidimensional em uma integral ao longo da borda. Aqui
e
significam as derivadas de
e
em relação a
. Vamos aplicar essa fórmula a cada curva para obter as áreas individuais e depois subtrair.
Passo 3
Calcular a área da primeira curva (a elipse). Dados:
Derivadas:
Agora o integrando:
Calcule passo a passo:
logo
Assim a área da elipse é
(Observação didática: deu constante
porque a parametrização é uma homotecia nas direções
e
; essa é uma maneira prática de chegar no resultado. Também se poderia usar a fórmula conhecida
para elipse com semi-eixos
, obtendo
.)
Passo 4
Calcular a área da segunda curva (o círculo unidade). Dados:
Derivadas:
Integrando:
Logo
(Observação didática: é o famoso círculo de raio
, área
.)
Passo 5
Agora a área da região entre as curvas é a diferença entre a área da elipse e a área do círculo, porque a elipse fica sempre fora do círculo (pode-se checar que a distância ao centro da elipse mínima é
, maior que
). Portanto: