Calcule a área da região entre as curvas:
\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\\ y=1+3 t\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}x=t \\\ y=t^{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas duas curvas dadas parametricamente:
\begin{cases} x=1+t\\[4pt] y=1+3t \end{cases}
e
\begin{cases} x=t\\[4pt] y=t^{2} \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  1. As duas curvas estão no plano xy e são parametrizadas (uma é uma reta, outra é uma parábola).
  2. A região pedida é a região comum limitada por essas duas curvas — precisamos achar os pontos de interseção e depois calcular a área entre elas.
  3. Não foi dado um método obrigatório, então vamos usar o método mais direto: passar cada curva para uma expressão y=f(x) quando possível, encontrar os pontos de interseção em x e integrar a diferença y_{\text{cima}}-y_{\text{baixo}} em x.]

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Para evitar confusão de parâmetros, chamo o parâmetro da reta de u e o da parábola de v. Igualando coordenadas:
1+u = v
1+3u = v^{2}
Substituo u=v-1 na segunda equação:
1+3(v-1)=v^{2}
Desenvolvendo:
1+3v-3=v^{2}\quad\Rightarrow\quad v^{2}-3v+2=0
Essa é uma quadrática que fatoriza:
(v-1)(v-2)=0
Logo v=1 ou v=2. Correspondentemente u=v-1 u=0 ou u=1. Assim os pontos de interseção têm coordenadas:
  • Para v=1: x=1, y=1.
  • Para v=2: x=2, y=4.

Passo 3

Colocar cada curva em forma y=f(x) (cartesiana) para comparar facilmente:
  • Para a parábola, o parâmetro foi v com x=v e y=v^{2}, então simplesmente
y_{\text{par}}=x^{2}.
  • Para a reta, o parâmetro foi u com x=1+u e y=1+3u. Isolando u em função de x: u=x-1. Substituindo em y:
y_{\text{ret}}=1+3(x-1)=3x-2.

Passo 4

Determinar qual curva está acima da outra no intervalo de x entre as interseções x=1 e x=2. Considere a diferença
f(x)=y_{\text{par}}-y_{\text{ret}}=x^{2}-(3x-2)=x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
No intervalo 1<x<2 temos (x-1)>0 e (x-2)<0, logo f(x)<0. Isso significa que, para 1<x<2,
y_{\text{par}}<y_{\text{ret}}.
Portanto a reta y=3x-2 está acima da parábola y=x^{2} nesse intervalo.

Passo 5

Montar a integral para a área: como ambas as curvas são funções de x e a região está entre x=1 e x=2, a área é
\text{Área}=\int_{x=1}^{2}\bigl(y_{\text{cima}}-y_{\text{baixo}}\bigr)\,dx =\int_{1}^{2}\bigl(3x-2-x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Antiderivada de cada termo:
\int 3x\,dx=\tfrac{3}{2}x^{2},\qquad \int -2\,dx=-2x,\qquad \int -x^{2}\,dx=-\tfrac{1}{3}x^{3}.
Portanto um primitivo é
F(x)=\tfrac{3}{2}x^{2}-2x-\tfrac{1}{3}x^{3}.
Avalio nos limites 1 e 2:
F(2)=\tfrac{3}{2}\cdot 2^{2}-2\cdot 2-\tfrac{1}{3}\cdot 2^{3} =\tfrac{3}{2}\cdot 4-4-\tfrac{8}{3} =6-4-\tfrac{8}{3}=2-\tfrac{8}{3}=-\tfrac{2}{3}.
F(1)=\tfrac{3}{2}\cdot 1^{2}-2\cdot 1-\tfrac{1}{3}\cdot 1^{3} =\tfrac{3}{2}-2-\tfrac{1}{3} =\tfrac{9}{6}-\tfrac{12}{6}-\tfrac{2}{6}=-\tfrac{5}{6}.
Agora a área é F(2)-F(1):
\text{Área}=-\tfrac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{5}{6}\bigr)=-\tfrac{2}{3}+\tfrac{5}{6}=-\tfrac{4}{6}+\tfrac{5}{6}=\tfrac{1}{6}.Á

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: a área obtida é positiva e pequena, \tfrac{1}{6}, condizente com a região delimitada entre x=1 e x=2 onde a reta fica ligeiramente acima da parábola. Se quiser conferir graficamente, plotar y=x^{2} e y=3x-2 mostra exatamente a região entre os pontos (1,1) e (2,4).

Resposta

\tfrac{1}{6}

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