Calcule a área da região entre as curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas duas curvas dadas parametricamente:
e
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As duas curvas estão no plano
e são parametrizadas (uma é uma reta, outra é uma parábola). - A região pedida é a região comum limitada por essas duas curvas — precisamos achar os pontos de interseção e depois calcular a área entre elas.
- Não foi dado um método obrigatório, então vamos usar o método mais direto: passar cada curva para uma expressão
quando possível, encontrar os pontos de interseção em e integrar a diferença em .]
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Para evitar confusão de parâmetros, chamo o parâmetro da reta de
e o da parábola de
. Igualando coordenadas:
Substituo
na segunda equação:
Desenvolvendo:
Essa é uma quadrática que fatoriza:
Logo
ou
. Correspondentemente
dá
ou
. Assim os pontos de interseção têm coordenadas:
- Para
: , . - Para
: , .
Passo 3
Colocar cada curva em forma
(cartesiana) para comparar facilmente:
- Para a parábola, o parâmetro foi
com e , então simplesmente
- Para a reta, o parâmetro foi
com e . Isolando em função de : . Substituindo em :
Passo 4
Determinar qual curva está acima da outra no intervalo de
entre as interseções
e
. Considere a diferença
No intervalo
temos
e
, logo
. Isso significa que, para
,
Portanto a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 5
Montar a integral para a área: como ambas as curvas são funções de
e a região está entre
e
, a área é
Passo 6
Calcular a integral passo a passo. Antiderivada de cada termo:
Portanto um primitivo é
Avalio nos limites
e
:
Agora a área é
:
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: a área obtida é positiva e pequena,
, condizente com a região delimitada entre
e
onde a reta fica ligeiramente acima da parábola. Se quiser conferir graficamente, plotar
e
mostra exatamente a região entre os pontos
e
.