Calcule a área do seguinte conjunto: S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 1, \sqrt{x} \leq y \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;0\le x\le 1,\;\sqrt{x}\le y\le 1\}.
O que é pedido: calcular a área do conjunto S.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio em x é o intervalo [0,1].
  • Para cada x em [0,1], o valor de y varia entre \sqrt{x} (limite inferior) e 1 (limite superior).
  • Precisamos devolver um número: a área da região S.

Passo 2

Ideia geométrica e fórmula útil (explicação didática):
  • Imagine dividir a região em tiras verticais muito fininhas, de largura \mathrm{d}x. Para um dado x, a altura dessa tira é a diferença entre a função superior e a função inferior, ou seja \text{altura} = y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x).
  • A área aproximada da tira é (y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x))\cdot \mathrm{d}x. Somando (integrando) essas tiras de x=a até x=b e tomando o limite, obtemos a integral
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\big)\,\mathrm{d}x.Á
  • Nesta fórmula, a e b são os extremos do intervalo em x, y_{\text{top}}(x) é a função que dá a borda superior em função de x e y_{\text{bot}}(x) a borda inferior. Essa é a forma padrão para regiões “vertically simple” (simples por tiras verticais).
Exemplo rápido para fixar a ideia: a área do retângulo com 0\le x\le1 e 0\le y\le2 é
\int_{0}^{1}(2-0)\,\mathrm{d}x=2,
que coincide com o que esperamos (base 1 vezes altura 2).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso conjunto S:
  • Aqui a=0, b=1.
  • A função superior é y_{\text{top}}(x)=1.
  • A função inferior é y_{\text{bot}}(x)=\sqrt{x}.
Portanto a área de S é dada pela integral
A=\int_{0}^{1}\big(1-\sqrt{x}\big)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Cálculo da integral passo a passo:
  • Primeiro, separamos a integral em duas partes:
A=\int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x.
  • A primeira integral é simples:
\int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}x = 1.
  • Para a segunda, escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e usamos a regra da potência para primitivar: para n\neq -1 temos \int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int x^{1/2}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
  • Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^{1/2}\,\mathrm{d}x=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3}.
  • Substituindo:
A=1-\frac{2}{3}.

Passo 5

Simplificação final do valor (opcional: verificação por outra ordem de integração)
  • Simplificando 1-\tfrac{2}{3} obtemos \tfrac{1}{3}.
Verificação rápida trocando a ordem (opcional e pedagógica): descrevendo S por fatias horizontais, para cada y com 0\le y\le 1 temos 0\le x\le y^{2} (porque \sqrt{x}\le y \iff x\le y^{2}). Assim
A=\int_{0}^{1} \big(y^{2}-0\big)\,\mathrm{d}y=\int_{0}^{1} y^{2}\,\mathrm{d}y=\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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