Para cada x em [0,1], o valor de y varia entre \sqrt{x} (limite inferior) e 1 (limite superior).
Precisamos devolver um número: a área da região S.
Passo 2
Ideia geométrica e fórmula útil (explicação didática):
Imagine dividir a região em tiras verticais muito fininhas, de largura \mathrm{d}x. Para um dado x, a altura dessa tira é a diferença entre a função superior e a função inferior, ou seja \text{altura} = y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x).
A área aproximada da tira é (y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x))\cdot \mathrm{d}x. Somando (integrando) essas tiras de x=a até x=b e tomando o limite, obtemos a integral
Nesta fórmula, a e b são os extremos do intervalo em x, y_{\text{top}}(x) é a função que dá a borda superior em função de x e y_{\text{bot}}(x) a borda inferior. Essa é a forma padrão para regiões “vertically simple” (simples por tiras verticais).
Exemplo rápido para fixar a ideia: a área do retângulo com 0\le x\le1 e 0\le y\le2 é
\int_{0}^{1}(2-0)\,\mathrm{d}x=2,
que coincide com o que esperamos (base 1 vezes altura 2).
Para a segunda, escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e usamos a regra da potência para primitivar: para n\neq -1 temos \int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
Verificação rápida trocando a ordem (opcional e pedagógica): descrevendo S por fatias horizontais, para cada y com 0\le y\le 1 temos 0\le x\le y^{2} (porque \sqrt{x}\le y \iff x\le y^{2}). Assim