Calcule:
\int \frac{5}{2+(x+2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5}{2+(x+2)^{2}}\,dx.
Este é um caso clássico de integral do tipo \int \frac{1}{a^{2}+u^{2}}\,du, cuja fórmula é
\int \frac{du}{a^{2}+u^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr) + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 2, \quad du = dx.
Assim a integral original vira
\int \frac{5}{2+(x+2)^{2}}\,dx = \int \frac{5}{2+u^{2}}\,du.

Passo 3

Fatoramos a constante 5 e escrevemos 2 como (\sqrt{2})^{2}:
\int \frac{5}{2+u^{2}}\,du = 5 \int \frac{1}{(\sqrt{2})^{2}+u^{2}}\,du.
Agora aplicamos a fórmula com a = \sqrt{2}:
\int \frac{du}{(\sqrt{2})^{2}+u^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

Passo 4

Multiplicando pelo 5 e voltando à variável x (isto é, u = x+2), obtemos
5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt{2}}\Bigr) + C = \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan\!\Bigl(\frac{x+2}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

Resposta

\frac{5}{\sqrt{2}} \arctan\!\Bigl(\frac{x+2}{\sqrt{2}}\Bigr) + C

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