Calcule:
\int \frac{3 x+2}{x^{2}+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x+2}{x^2+5}\,dx.
O conteúdo é integração de uma função racional simples. Vamos usar duas ideias principais: separar a integral em duas parcelas e empregar substituição para a primeira parte e a fórmula do arco-tangente para a segunda.

Passo 2

Separamos o integrando em duas frações mais fáceis:
\frac{3x+2}{x^2+5} = \frac{3x}{x^2+5} \;+\;\frac{2}{x^2+5}.
Logo,
\int \frac{3x+2}{x^2+5}\,dx = \int \frac{3x}{x^2+5}\,dx + \int \frac{2}{x^2+5}\,dx.

Passo 3

Para
\displaystyle \int \frac{3x}{x^2+5}\,dx,
fazemos a substituição
u = x^2 + 5, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Como temos 3x\,dx, escrevemos
3x\,dx = \frac{3}{2}\,du.
Portanto,
\int \frac{3x}{x^2+5}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{3}{2}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{3}{2}\ln\bigl(x^2+5\bigr).

Passo 4

Para
\displaystyle \int \frac{2}{x^2+5}\,dx,
reconhecemos a forma padrão
\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
Aqui a^2=5, logo a=\sqrt{5}.
Assim,
\int \frac{2}{x^2+5}\,dx =2\int \frac{1}{x^2+(\sqrt{5})^2}\,dx =2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) =\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 5

Somando as duas parcelas e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{3x+2}{x^2+5}\,dx = \frac{3}{2}\ln\bigl(x^2+5\bigr) + \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{3x+2}{x^2+5}\,dx = \frac{3}{2}\ln\bigl(x^2+5\bigr) + \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) + C }.

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