Calcule a área sob as curvas paramétricas: x=e^{t}, y=t e^{-t}, 0 \leq t \leq 1
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
x = e^{t},\qquad y = t\,e^{-t},\qquad 0 \leq t \leq 1.
A pergunta é: qual é a área “sob” essa curva no intervalo de parâmetro t dado — ou seja, a área entre o gráfico de y como função de x e o eixo x, quando t varia de 0 a 1?
Informações importantes fornecidas: as expressões de x(t) e y(t) e o intervalo de t.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para área de uma curva dada em forma paramétrica. Se uma curva é dada por x=x(t) e y=y(t) para t em [a,b], a área sob a curva (área entre a curva e o eixo x, assumindo que x(t) é monótona e o traçado não se sobrepõe) é
\text{Área}=\int_{x(a)}^{x(b)} y\,dx.
Substituindo dx = x'(t)\,dt, obtemos a versão paramétrica
\text{Área}=\int_{a}^{b} y(t)\,x'(t)\,dt.
Explicação didática: pensar em dividir o intervalo de x em retângulos de base \Delta x e altura aproximada y. Em parametrização, \Delta x \approx x'(t)\Delta t, portanto a soma das áreas aproximadas vira \sum y(t)\,x'(t)\Delta t, que no limite se torna a integral acima. Atenção: essa fórmula dá a integral de y\,dx; se y for negativa em alguma parte, a integral dá área algébrica (negativa onde y<0). Aqui verificaremos o sinal depois.
Passo 3
Calcule x'(t). Como x(t)=e^{t}, a derivada é
x'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Comentário amigável: a função exponencial tem a propriedade prática de que a derivada é ela mesma — ótima quando queremos simplificar contas.
Passo 4
Monte o integrando y(t)\,x'(t):
y(t)\,x'(t)=\bigl(t\,e^{-t}\bigr)\cdot e^{t}.
Agora simplificamos os fatores exponenciais: e^{-t}\cdot e^{t}=e^{0}=1. Portanto
y(t)\,x'(t)=t.
Isso é um ótimo sinal: o integrando ficou uma função muito simples.
Passo 5
Agora escrevemos a integral da área usando a=0 e b=1:
\text{Área}=\int_{0}^{1} t\,dt.
Calcule a integral usando a regra do poder: uma antiderivada de t é \tfrac{t^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 1,
Verificações e observações rápidas para a prova: x'(t)=e^{t}>0 em todo o intervalo, então x(t) é estritamente crescente e não há sobreposição horizontal — a fórmula \int_{a}^{b} y\,x'\,dt é válida e fornece a área usual (positiva) sob a curva. Aqui y(t)=t e^{-t} é não negativa em [0,1], então a área algébrica coincide com a área geométrica. Força aí — deu uma integral bem simples no fim!