Calcule a área sob as curvas paramétricas:
x=2 \cos t, y=3 \sin t, 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede a área “sob” a curva dada pelas paramétricas x=2\cos t e y=3\sin t no intervalo 0\le t\le \pi.
Informações dadas:
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=3\sin t,\qquad t\in[0,\pi].
Pergunta que vamos responder: qual é a área entre essa curva e o eixo x para t variando de 0 a \pi?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que converte a área sob uma curva em coordenadas paramétricas para uma integral em t.
Se quisermos a área entre a curva e o eixo x (altura y acima do eixo), a contribuição de um pequeno trecho é aproximadamente y\,dx. Assim a área é
\text{Área}=\int y\,dx.Á
Como x=x(t), temos dx=x'(t)\,dt. Portanto, em parâmetros,
\text{Área}=\int_{t=a}^{t=b} y(t)\,x'(t)\,dt.Á
Aqui a=0 e b=\pi. Observação importante: essa integral pode dar negativo se a orientação do parâmetro for da direita para a esquerda (isto é, se x'(t)<0). Como queremos a área (quantidade positiva de região), tomaremos o valor absoluto do resultado se necessário. Outra observação: se y(t) for não negativa em todo o intervalo, a área geométrica será o valor absoluto de \int y\,x'\,dt.

Passo 3

Calculemos x'(t) e o integrando y(t)x'(t).
Derivando x(t)=2\cos t temos
x'(t)=-2\sin t.
Então
y(t)x'(t)=\bigl(3\sin t\bigr)\bigl(-2\sin t\bigr)=-6\sin^2 t.

Passo 4

Montamos a integral no intervalo 0\le t\le\pi:
\int_{0}^{\pi} y(t)\,x'(t)\,dt=\int_{0}^{\pi} -6\sin^2 t\,dt.
Para integrar \sin^2 t usamos a identidade trigonométrica
\sin^2 t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Substituindo:
\int_{0}^{\pi} -6\sin^2 t\,dt = -6\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos(2t)}{2}\,dt = -3\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos(2t)\bigr)\,dt.

Passo 5

Calculemos a integral passo a passo:
-3\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos(2t)\bigr)\,dt = -3\left[\;t-\frac{\sin(2t)}{2}\;\right]_{0}^{\pi}.
Avaliaremos nos extremos:
\left.t-\frac{\sin(2t)}{2}\right|_{0}^{\pi} = \left(\pi-\frac{\sin(2\pi)}{2}\right)-\left(0-\frac{\sin 0}{2}\right)=\pi-0=\pi.
Logo a integral vale
-3\cdot\pi=-3\pi.

Passo 6

Interpretando o sinal: o resultado da integral deu -3\pi porque x'(t)=-2\sin t é negativo na maior parte de [0,\pi], ou seja, o parâmetro percorre a curva da direita para a esquerda. Como y(t)\ge 0 em [0,\pi] e queremos a área geométrica (positiva) entre a curva e o eixo x, tomamos o valor absoluto:
\text{Área} = \bigl| -3\pi\bigr| = 3\pi.Á

Passo 7

Checagem geométrica rápida (intuição): a parametrização x=2\cos t,\; y=3\sin t é uma elipse com semi-eixos a=2 e b=3. Para t\in[0,\pi] percorremos a metade superior da elipse (acima do eixo x). A área total da elipse é \pi ab=\pi\cdot 2\cdot 3=6\pi, então a metade superior tem área 6\pi/2=3\pi, confirmando o resultado.

Resposta

3\pi

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