Pergunta que vamos responder: qual é a área entre essa curva e o eixo x para t variando de 0 a \pi?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que converte a área sob uma curva em coordenadas paramétricas para uma integral em t.
Se quisermos a área entre a curva e o eixo x (altura y acima do eixo), a contribuição de um pequeno trecho é aproximadamente y\,dx. Assim a área é
\text{Área}=\int y\,dx.
Como x=x(t), temos dx=x'(t)\,dt. Portanto, em parâmetros,
\text{Área}=\int_{t=a}^{t=b} y(t)\,x'(t)\,dt.
Aqui a=0 e b=\pi. Observação importante: essa integral pode dar negativo se a orientação do parâmetro for da direita para a esquerda (isto é, se x'(t)<0). Como queremos a área (quantidade positiva de região), tomaremos o valor absoluto do resultado se necessário. Outra observação: se y(t) for não negativa em todo o intervalo, a área geométrica será o valor absoluto de \int y\,x'\,dt.
Passo 3
Calculemos x'(t) e o integrando y(t)x'(t).
Derivando x(t)=2\cos t temos
x'(t)=-2\sin t.
Então
y(t)x'(t)=\bigl(3\sin t\bigr)\bigl(-2\sin t\bigr)=-6\sin^2 t.
Interpretando o sinal: o resultado da integral deu -3\pi porque x'(t)=-2\sin t é negativo na maior parte de [0,\pi], ou seja, o parâmetro percorre a curva da direita para a esquerda. Como y(t)\ge 0 em [0,\pi] e queremos a área geométrica (positiva) entre a curva e o eixo x, tomamos o valor absoluto:
\text{Área} = \bigl| -3\pi\bigr| = 3\pi.Á
Passo 7
Checagem geométrica rápida (intuição): a parametrização x=2\cos t,\; y=3\sin t é uma elipse com semi-eixos a=2 e b=3. Para t\in[0,\pi] percorremos a metade superior da elipse (acima do eixo x). A área total da elipse é \pi ab=\pi\cdot 2\cdot 3=6\pi, então a metade superior tem área 6\pi/2=3\pi, confirmando o resultado.