Calcule a área sob o gráfico de f entre x=a e x=b, em cada caso abaixo. Esboce.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} e [a, b]=[0,1]

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de f(x)=\tfrac{1}{1+x^{2}} entre x=a e x=b, sendo [a,b]=[0,1]. O conteúdo envolvido é o de integração definida de funções contínuas e a primitiva de \tfrac{1}{1+x^{2}}, que é \arctan(x). Também vamos esboçar qualitativamente o gráfico de f e a região cuja área calculamos.

Passo 2

Como f(x)=\tfrac{1}{1+x^{2}} é contínua e positiva em [0,1], a área A procurada é
A = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \,dx.

Passo 3

Devemos encontrar uma primitiva de \tfrac{1}{1+x^{2}}. Sabe-se que
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x) + C.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos de 0 a 1:
A = \Bigl[\arctan(x)\Bigr]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Esboço qualitativo:
– O gráfico de y=\tfrac{1}{1+x^{2}} parte de (0,1) e decresce suavemente, aproximando-se de zero conforme x cresce.
– A região cuja área calculamos é o conjunto de pontos abaixo dessa curva e acima do eixo x, de x=0 a x=1. Basta desenhar a curva e sombrear essa faixa.

Resposta

A área sob o gráfico de f em [0,1] é
\frac{\pi}{4}.

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