Determine o valor de \int_{-2}^{2} x^{3} \sqrt{x^{6}+2} d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\sqrt{x^6+2}\,dx. O conteúdo envolvido é o uso de paridade de funções para integrais definidas em intervalos simétricos.

Passo 2

Definimos f(x)=x^3\sqrt{x^6+2} e verificamos sua paridade:
f(-x)=(-x)^3\sqrt{(-x)^6+2}=-x^3\sqrt{x^6+2}=-f(x),
logo f é uma função ímpar.

Passo 3

Sabemos que a integral de uma função ímpar em [-a,a] é zero. Assim,
\int_{-2}^{2}x^3\sqrt{x^6+2}\,dx=0.

Resposta

0

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