Calcule a área sob o gráfico de
, no intervalo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Intervalo dado:
. - O que pede: calcular a área sob o gráfico de
no intervalo . Ou seja, calcular a integral definida
Passo 2
Interpretação e propriedade útil (linearidade da integral):
- A área pedida é exatamente a integral definida
. - Podemos usar a linearidade da integral para separar a soma:
Isso facilita porque cada integral pode ser calculada isoladamente.
Passo 3
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (como vamos obter a área):
- Se
é uma primitiva (antiderivada) de , ou seja, , então
- Portanto nossa tarefa é achar primitivas de
e de , e depois avaliar a diferença entre os extremos e .
Passo 4
Primitiva de
:
- Regra útil: a derivada de
é . Aqui tem . - Logo, a derivada de
é . - Para obter uma primitiva de
precisamos “anular” o fator ; multiplicamos por . - Assim uma primitiva é
- Verificação rápida:
.
Passo 5
Primitiva de
:
- Regra útil: a derivada de
é . Aqui . - Então
. - Para obter uma primitiva de
precisamos do fator para cancelar o . - Assim uma primitiva é
- Verificação:
.
Passo 6
Primitiva total e aplicação do Teorema Fundamental:
- Uma primitiva de
é a soma das primitivas encontradas:
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Passo 7
Cálculo de
:
- Calcule
. - Calcule
. - Portanto
Passo 8
Cálculo de
:
- Calcule
. - Calcule
. - Portanto
Passo 9
Subtração para obter a área:
- Agora fazemos
:
- Podemos reescrever de forma mais compacta: