Calcule a área sob o gráfico de f(x)=e^{\frac{x}{4}}+\cos 2 x, no intervalo [0,2]
\square

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x)=e^{\frac{x}{4}}+\cos 2x.
  • Intervalo dado: [0,2].
  • O que pede: calcular a área sob o gráfico de f no intervalo [0,2]. Ou seja, calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \bigl(e^{\frac{x}{4}}+\cos 2x\bigr)\,dx.

Passo 2

Interpretação e propriedade útil (linearidade da integral):
  • A área pedida é exatamente a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2}\bigl(e^{\frac{x}{4}}+\cos 2x\bigr)\,dx.
  • Podemos usar a linearidade da integral para separar a soma:
\int_{0}^{2}\bigl(e^{\frac{x}{4}}+\cos 2x\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} e^{\frac{x}{4}}\,dx + \int_{0}^{2}\cos 2x\,dx.
Isso facilita porque cada integral pode ser calculada isoladamente.

Passo 3

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (como vamos obter a área):
  • Se F é uma primitiva (antiderivada) de f, ou seja, F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Portanto nossa tarefa é achar primitivas de e^{\frac{x}{4}} e de \cos 2x, e depois avaliar a diferença entre os extremos x=2 e x=0.

Passo 4

Primitiva de \displaystyle e^{\frac{x}{4}}:
  • Regra útil: a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=\frac{x}{4} tem u'(x)=\frac{1}{4}.
  • Logo, a derivada de e^{\frac{x}{4}} é \frac{1}{4}e^{\frac{x}{4}}.
  • Para obter uma primitiva de e^{\frac{x}{4}} precisamos “anular” o fator \frac{1}{4}; multiplicamos por 4.
  • Assim uma primitiva é
\text{(primitiva de }e^{\frac{x}{4}}\text{)} = 4e^{\frac{x}{4}}.
  • Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}\bigl(4e^{\frac{x}{4}}\bigr)=4\cdot\frac{1}{4}e^{\frac{x}{4}}=e^{\frac{x}{4}}.

Passo 5

Primitiva de \displaystyle \cos 2x:
  • Regra útil: a derivada de \sin(kx) é k\cos(kx). Aqui k=2.
  • Então \dfrac{d}{dx}\bigl(\sin 2x\bigr)=2\cos 2x.
  • Para obter uma primitiva de \cos 2x precisamos do fator \frac{1}{2} para cancelar o 2.
  • Assim uma primitiva é
\text{(primitiva de }\cos 2x\text{)} = \frac{1}{2}\sin 2x.
  • Verificação: \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\cos 2x=\cos 2x.

Passo 6

Primitiva total e aplicação do Teorema Fundamental:
  • Uma primitiva de f(x) é a soma das primitivas encontradas:
F(x)=4e^{\frac{x}{4}}+\frac{1}{2}\sin 2x.
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2}\bigl(e^{\frac{x}{4}}+\cos 2x\bigr)\,dx = F(2)-F(0).

Passo 7

Cálculo de F(2):
  • Calcule e^{\frac{2}{4}}=e^{\frac{1}{2}}.
  • Calcule \sin(2\cdot 2)=\sin 4.
  • Portanto
F(2)=4e^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\sin 4.

Passo 8

Cálculo de F(0):
  • Calcule e^{0}=1.
  • Calcule \sin(0)=0.
  • Portanto
F(0)=4\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 0 = 4.

Passo 9

Subtração para obter a área:
  • Agora fazemos F(2)-F(0):
F(2)-F(0)=\Bigl(4e^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\sin 4\Bigr)-4.
  • Podemos reescrever de forma mais compacta:
4\bigl(e^{\frac{1}{2}}-1\bigr)+\frac{1}{2}\sin 4.

Resposta

4\bigl(e^{\frac{1}{2}}-1\bigr)+\dfrac{1}{2}\sin 4

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