Pesquise as assíntotas da função
:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar as assíntotas da função
.
Informações dadas pelo enunciado e pontos importantes a observar:
- O denominador é
. Pontos onde o denominador é zero são candidatos a assíntotas verticais; vamos identificá-los: resolvendo obtemos . - Para
a fração tende a zero, então há a possibilidade de uma assíntota horizontal do tipo constante. - Verificaremos, passo a passo, se esses pontos dão realmente assíntotas verticais e se existe alguma assíntota oblíqua além da horizontal.
Passo 2
Definições e conceitos (explicados de forma prática):
- Assíntota vertical em
: ocorre quando ou . Na prática, se ao aproximar de a função diverge para infinito, a reta vertical é uma assíntota. - Assíntota horizontal
: ocorre se ou . Ou seja, para muito grande (positivo ou negativo) a função se aproxima de uma constante. - Assíntota oblíqua (reta
com ): existe se, ao subtrair , a função tende a zero quando . Um teste prático: . Se esse limite existe e é não nulo, pode haver assíntota oblíqua; caso contrário (se for zero) não há oblíqua com .
Vou aplicar essas definições à função dada, com cálculos passo a passo.
Passo 3
Análise das assíntotas verticais — localizar e verificar o comportamento dos limites.
Identificamos as raízes do denominador (já obtidas no Passo 1):
Esses pontos não pertencem ao domínio e são candidatos a assíntotas verticais. Agora analisamos os limites laterais.
- Em
:
Para
próximo de
, examinamos o sinal de
.
- Se
(aproximação pela esquerda), então e assim (denominador é um pequeno número negativo). Portanto
e então
- Se
(pela direita), então e (denominador é um pequeno número positivo). Logo
e
Conclusão:
é assíntota vertical (porque há divergência para
nas laterais).
- Em
:
O termo
é mesmo para
positivo ou negativo, mas ao aproximarmos de
as direções mudam o sinal do desvio.
- Se
(valores mais negativos que , por exemplo se ), então e , portanto (denominador pequeno positivo). Assim
e
- Se
(valores menos negativos, por exemplo ), então e , logo (denominador pequeno negativo). Assim
e
Conclusão:
é assíntota vertical.
Portanto temos duas assíntotas verticais:
.
Passo 4
Análise da assíntota(s) horizontal(is) — comportamento para
.
Calculamos os limites nas infindades. Primeiro observe que para
grande:
Formalizando, podemos dividir numerador e denominador por
(para
):
Como
, segue
Logo
Conclusão: existe assíntota horizontal
tanto para
quanto para
.
Passo 5
Verificação de assíntota oblíqua (releitura rápida para garantir que não exista outra reta do tipo
com
).
Regra prática: se houver uma assíntota oblíqua
então normalmente
(ou pode-se calcular
e
). Calcule:
Ambos os termos tendem a zero quando
, portanto
Isto mostra que não existe inclinação não nula; a possível inclinação seria
, o que corresponde a uma assíntota horizontal (já encontrada). Outra maneira de ver: a parte racional
tende a zero mais rápido que
, então não sobra termo linear para uma oblíqua. Concluímos que não há assíntota oblíqua.
Passo 6
Resumo final (explicado de forma direta):
- Assíntotas verticais: nas raízes do denominador onde a função diverge, isto é em
. - Assíntota horizontal:
, pois . - Não existem assíntotas oblíquas (nenhuma reta
com ).