Pesquise as assíntotas da função f(x)=\frac{1}{3 x^{2}-1}+1 :

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar as assíntotas da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{3x^{2}-1}+1.
Informações dadas pelo enunciado e pontos importantes a observar:
f(x)=\frac{1}{3x^{2}-1}+1.
  • O denominador é 3x^{2}-1. Pontos onde o denominador é zero são candidatos a assíntotas verticais; vamos identificá-los: resolvendo 3x^{2}-1=0 obtemos x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Para x\to\pm\infty a fração \dfrac{1}{3x^{2}-1} tende a zero, então há a possibilidade de uma assíntota horizontal do tipo y= constante.
  • Verificaremos, passo a passo, se esses pontos dão realmente assíntotas verticais e se existe alguma assíntota oblíqua além da horizontal.

Passo 2

Definições e conceitos (explicados de forma prática):
  • Assíntota vertical em x=x_0: ocorre quando \displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x)=\pm\infty ou \displaystyle \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\pm\infty. Na prática, se ao aproximar x de x_0 a função diverge para infinito, a reta vertical x=x_0 é uma assíntota.
  • Assíntota horizontal y=L: ocorre se \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=L. Ou seja, para x muito grande (positivo ou negativo) a função se aproxima de uma constante.
  • Assíntota oblíqua (reta y=ax+b com a\neq 0): existe se, ao subtrair ax+b, a função tende a zero quando x\to\pm\infty. Um teste prático: a=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}. Se esse limite existe e é não nulo, pode haver assíntota oblíqua; caso contrário (se for zero) não há oblíqua com a\neq0.
Vou aplicar essas definições à função dada, com cálculos passo a passo.

Passo 3

Análise das assíntotas verticais — localizar e verificar o comportamento dos limites.
Identificamos as raízes do denominador (já obtidas no Passo 1):
3x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Esses pontos não pertencem ao domínio e são candidatos a assíntotas verticais. Agora analisamos os limites laterais.
  1. Em x_{0}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}:
Para x próximo de x_{0}, examinamos o sinal de 3x^{2}-1.
  • Se x\to\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-} (aproximação pela esquerda), então x^{2}<\frac{1}{3} e assim 3x^{2}-1<0 (denominador é um pequeno número negativo). Portanto
\frac{1}{3x^{2}-1}\to -\infty
e então
f(x)=\frac{1}{3x^{2}-1}+1\to -\infty.
  • Se x\to\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{+} (pela direita), então x^{2}>\frac{1}{3} e 3x^{2}-1>0 (denominador é um pequeno número positivo). Logo
\frac{1}{3x^{2}-1}\to +\infty
e
f(x)=\frac{1}{3x^{2}-1}+1\to +\infty.
Conclusão: \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}} é assíntota vertical (porque há divergência para \pm\infty nas laterais).
  1. Em x_{0}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}:
O termo x^{2} é mesmo para x positivo ou negativo, mas ao aproximarmos de -\frac{1}{\sqrt{3}} as direções mudam o sinal do desvio.
  • Se x\to\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-} (valores mais negativos que -\frac{1}{\sqrt{3}}, por exemplo -0{,}6 se -\frac{1}{\sqrt{3}}\approx -0{,}577), então |x|>\frac{1}{\sqrt{3}} e x^{2}>\frac{1}{3}, portanto 3x^{2}-1>0 (denominador pequeno positivo). Assim
\frac{1}{3x^{2}-1}\to +\infty
e
f(x)\to +\infty.
  • Se x\to\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{+} (valores menos negativos, por exemplo -0{,}56), então |x|<\frac{1}{\sqrt{3}} e x^{2}<\frac{1}{3}, logo 3x^{2}-1<0 (denominador pequeno negativo). Assim
\frac{1}{3x^{2}-1}\to -\infty
e
f(x)\to -\infty.
Conclusão: \displaystyle x=-\frac{1}{\sqrt{3}} é assíntota vertical.
Portanto temos duas assíntotas verticais: x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Análise da assíntota(s) horizontal(is) — comportamento para x\to\pm\infty.
Calculamos os limites nas infindades. Primeiro observe que para x grande:
\frac{1}{3x^{2}-1}\to 0.
Formalizando, podemos dividir numerador e denominador por x^{2} (para x\neq 0):
\frac{1}{3x^{2}-1}=\frac{1/x^{2}}{3-1/x^{2}}.
Como \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}}=0, segue
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{3x^{2}-1}=0.
Logo
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{1}{3x^{2}-1}+1\right)=0+1=1.
Conclusão: existe assíntota horizontal y=1 tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty.

Passo 5

Verificação de assíntota oblíqua (releitura rápida para garantir que não exista outra reta do tipo y=ax+b com a\neq 0).
Regra prática: se houver uma assíntota oblíqua y=ax+b então normalmente a=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} (ou pode-se calcular a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} e b=\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-ax\big)). Calcule:
\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{3x^{2}-1}+1\right)=\frac{1}{x(3x^{2}-1)}+\frac{1}{x}.
Ambos os termos tendem a zero quando x\to\infty, portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=0.
Isto mostra que não existe inclinação não nula; a possível inclinação seria a=0, o que corresponde a uma assíntota horizontal (já encontrada). Outra maneira de ver: a parte racional \dfrac{1}{3x^{2}-1} tende a zero mais rápido que 1/x, então não sobra termo linear para uma oblíqua. Concluímos que não há assíntota oblíqua.

Passo 6

Resumo final (explicado de forma direta):
  • Assíntotas verticais: nas raízes do denominador onde a função diverge, isto é em x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • Assíntota horizontal: \;y=1, pois \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.
  • Não existem assíntotas oblíquas (nenhuma reta y=ax+b com a\neq 0).

Resposta

x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}
y=1

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