Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
u_{1}+u u_{\mathrm{s}}=1+u_{\mathrm{ss}}

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_{1}+u\,u_{\mathrm{s}}=1+u_{\mathrm{ss}}
e informa que índices denotam derivadas parciais. A tarefa é: (a) determinar a ordem da equação diferencial e (b) dizer se ela é linear ou não linear.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Ordem é o maior número de diferenciações da incógnita que aparece na equação. Em termos práticos, olhamos todas as derivadas de u que aparecem e pegamos a de maior ordem (por exemplo: primeira, segunda, terceira, …).

Passo 3

Na equação dada aparecem as derivadas indicadas por índices: \;u_{1} (uma derivada de primeira ordem), \;u_{\mathrm{s}} (também de primeira ordem) e \;u_{\mathrm{ss}} (derivada de segunda ordem). A maior ordem entre essas é a segunda ordem, porque \;u_{\mathrm{ss}} é uma derivada de segunda ordem. Portanto a ordem da equação é 2.

Passo 4

O que significa “linear” neste contexto? Uma equação diferencial (ou operador diferencial) é linear se a incógnita u e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear — isto é, não aparecem produtos entre u e suas derivadas, nem funções não lineares de u (como u^2, \sin u, etc.). Em termos operatoriais, se L é o operador diferencial, deve valer L(\alpha u+\beta v)=\alpha L(u)+\beta L(v) para quaisquer escalares \alpha,\beta e funções u,v.

Passo 5

Escrevendo a equação isolando termos do lado esquerdo, temos
u_{1}-u_{\mathrm{ss}}+u\,u_{\mathrm{s}}=1.
O termo problemático é \;u\,u_{\mathrm{s}}: é o produto da função desconhecida u pelo seu derivado \;u_{\mathrm{s}}. Esse produto é não linear em u. Para ver de forma explícita que o operador não é linear, defina
F(u)=u_{1}-u_{\mathrm{ss}}+u\,u_{\mathrm{s}}.
Então calcule F(u+v):
F(u+v)=(u+v)_{1}-(u+v)_{\mathrm{ss}}+(u+v)(u+v)_{\mathrm{s}}.
Desenvolvendo os termos lineares obtemos u_{1}+v_{1}-u_{\mathrm{ss}}-v_{\mathrm{ss}} e o termo não linear gera cruzamentos:
(u+v)(u+v)_{\mathrm{s}}=u\,u_{\mathrm{s}}+u\,v_{\mathrm{s}}+v\,u_{\mathrm{s}}+v\,v_{\mathrm{s}}.
Logo
F(u+v)=F(u)+F(v)+\bigl(u\,v_{\mathrm{s}}+v\,u_{\mathrm{s}}\bigr),
e os termos extras u\,v_{\mathrm{s}}+v\,u_{\mathrm{s}} geralmente não se anulam. Isso mostra que F não satisfaz a superposição linear, logo a equação é não linear.

Passo 6

Para ficar mais concreto, um exemplo rápido: escolha u(x,s)=s e v(x,s)=s. Então u_{\mathrm{s}}=1 e v_{\mathrm{s}}=1. O termo extra fica u\,v_{\mathrm{s}}+v\,u_{\mathrm{s}}=s\cdot 1 + s\cdot 1 = 2s\neq 0. Assim F(u+v)\neq F(u)+F(v) nesse exemplo simples, confirmando a não linearidade.

Resposta

\text{Ordem: }2
\text{Tipo: não linear}ã

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