Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e informa que índices denotam derivadas parciais. A tarefa é: (a) determinar a ordem da equação diferencial e (b) dizer se ela é linear ou não linear.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Ordem é o maior número de diferenciações da incógnita que aparece na equação. Em termos práticos, olhamos todas as derivadas de
que aparecem e pegamos a de maior ordem (por exemplo: primeira, segunda, terceira, …).
Passo 3
Na equação dada aparecem as derivadas indicadas por índices:
(uma derivada de primeira ordem),
(também de primeira ordem) e
(derivada de segunda ordem). A maior ordem entre essas é a segunda ordem, porque
é uma derivada de segunda ordem. Portanto a ordem da equação é 2.
Passo 4
O que significa “linear” neste contexto? Uma equação diferencial (ou operador diferencial) é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear — isto é, não aparecem produtos entre
e suas derivadas, nem funções não lineares de
(como
,
, etc.). Em termos operatoriais, se
é o operador diferencial, deve valer
para quaisquer escalares
e funções
.
Passo 5
Escrevendo a equação isolando termos do lado esquerdo, temos
O termo problemático é
: é o produto da função desconhecida
pelo seu derivado
. Esse produto é não linear em
. Para ver de forma explícita que o operador não é linear, defina
Então calcule
:
Desenvolvendo os termos lineares obtemos
e o termo não linear gera cruzamentos:
Logo
e os termos extras
geralmente não se anulam. Isso mostra que
não satisfaz a superposição linear, logo a equação é não linear.
Passo 6
Para ficar mais concreto, um exemplo rápido: escolha
e
. Então
e
. O termo extra fica
. Assim
nesse exemplo simples, confirmando a não linearidade.