Calcule a área da superfície abaixo: é a parte da superfície esférica dentro do parabolóide .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície esférica definida pela equação e um parabolóide dado por . Precisamos calcular a área da parte da esfera que está dentro desse parabolóide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas esféricas ou cilíndricas.
Passo 2
Vamos encontrar a curva de interseção entre a esfera e o parabolóide. Para isso, substituímos a expressão de do parabolóide na equação da esfera:
Vamos simplificar substituindo :
Isso nos dá a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática em :
As soluções são e . Como não pode ser negativo, temos , ou seja, .
Passo 4
Agora, sabemos que a interseção ocorre quando . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar o cálculo da área. Em coordenadas cilíndricas, a área da superfície pode ser expressa como:
Aqui, , então a derivada parcial de em relação a é:
Passo 5
Substituindo na expressão da área:
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a .
Passo 6
Fazendo a substituição , temos ou . Os limites de integração para quando vai de 0 a 1 são de 1 a 5.