Calcule a área da superfície abaixo:
S é a parte da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 2 dentro do parabolóide z = x^2 + y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície esférica definida pela equação e um parabolóide dado por . Precisamos calcular a área da parte da esfera que está dentro desse parabolóide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas esféricas ou cilíndricas.

Passo 2

Vamos encontrar a curva de interseção entre a esfera e o parabolóide. Para isso, substituímos a expressão de do parabolóide na equação da esfera:
Vamos simplificar substituindo :
Isso nos dá a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática em :
As soluções são e . Como não pode ser negativo, temos , ou seja, .

Passo 4

Agora, sabemos que a interseção ocorre quando . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar o cálculo da área. Em coordenadas cilíndricas, a área da superfície pode ser expressa como:
Á
Aqui, , então a derivada parcial de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na expressão da área:
Á
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a .

Passo 6

Fazendo a substituição , temos ou . Os limites de integração para quando vai de 0 a 1 são de 1 a 5.
Então, a integral interna fica:

Passo 7

Substituindo de volta na integral externa:
Á

Resposta

A área da superfície é igual a .

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