Calcule integral duplaS F cdot n nos seguintes casos:
F(x, y, z)=(x^2 y, x y^2, 5-4 x y z) e S a superfície x^2+y^2+z^2=4, z >= 0, orientada com campo normal n tal que n cdot k>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde precisamos calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície . A superfície é a parte superior de uma esfera de raio 2, definida por com . A integral que queremos calcular é , onde é o vetor normal à superfície apontando para cima ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície, como encontrar o vetor normal , e como parametrizar a superfície . Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de superfície . Basicamente, estamos calculando o fluxo do campo vetorial através da superfície . O fluxo nos dá uma medida de quanta “força” do campo está atravessando a superfície.
Para calcular isso, precisamos:
  1. Parametrizar a superfície .
  2. Encontrar o vetor normal à superfície.
  3. Calcular o produto escalar .
  4. Integrar esse produto sobre toda a superfície.
Vamos começar parametrizando a superfície .

Passo 3

Como a superfície x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi é a parte superior de uma esfera de raio 2, podemos usar coordenadas esféricas para parametrizá-la. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser descrito por:
r(phi, theta) = (2 sinphi costheta, , 2 sinphi sintheta, , 2 cosphi )
Onde:
  • é o raio da esfera (no nosso caso, ),
  • é o ângulo polar (varia de 0 a porque ),
  • é o ângulo azimutal (varia de 0 a ).
Então, a parametrização da superfície fica:

Passo 4

Agora que temos a parametrização, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, precisamos derivar rphi = partial rpartial phi = (2 cosphi costheta, , 2 cosphi sintheta, , -2 sinphi ) em relação a rtheta = partial rpartial theta = (-2 sinphi sintheta, , 2 sinphi costheta, , 0 ) e n = rphi times rtheta :
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses dois vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 5

Calculando o produto vetorial n = i & j & k 2 cosphi costheta & 2 cosphi sintheta & -2 sinphi -2 sinphi sintheta & 2 sinphi costheta & 0 :
n = i (2 cosphi sintheta cdot 0 - (-2 sinphi) cdot 2 sinphi costheta) - j (2 cosphi costheta cdot 0 - (-2 sinphi) cdot (-2 sinphi sintheta)) + k (2 cosphi costheta cdot 2 sinphi costheta - 2 cosphi sintheta cdot (-2 sinphi sintheta))
Expandindo o determinante:
n = i (0 - (-4 sin^2phi costheta)) - j (0 - (4 sin^2phi sintheta)) + k (4 sinphi cosphi cos^2theta + 4 sinphi cosphi sin^2theta)
Simplificando cada componente:
n = 4 sin^2phi costheta , i + 4 sin^2phi sintheta , j + 4 sinphi cosphi (cos^2theta + sin^2theta) , k
Então:
n = 4 sin^2phi costheta , i + 4 sin^2phi sintheta , j + 4 sinphi cosphi , k
Sabemos que n = 4 ( sin^2phi costheta , i + sin^2phi sintheta , j + sinphi cosphi , k ) , então:
Podemos fatorar o 4:

Passo 6

Agora precisamos encontrar o vetor normal unitário |n| = raiz(4 sin^2phi costheta)^2 + (4 sin^2phi sintheta)^2 + (4 sinphi cosphi)^2 , ou seja, com comprimento 1, e verificar a orientação. Porém, notamos que o vetor que calculamos já aponta para fora da esfera, que é a direção que queremos ( |n| = 4 raizsin^4phi cos^2theta + sin^4phi sin^2theta + sin^2phi cos^2phi ).
Mas para simplificar a integração, vamos considerar o módulo de |n| = 4 sinphi raizsin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + cos^2phi :
|n| = 4 sinphi raizsin^2phi + cos^2phi = 4 sinphi cdot 1 = 4 sinphi
Simplificando:
n = n|n| = 4 ( sin^2phi costheta , i + sin^2phi sintheta , j + sinphi cosphi , k )4 sinphi = sinphi costheta , i + sinphi sintheta , j + cosphi , k
Factorando :
Como :
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 7

Agora que temos o vetor normal unitário F(x, y, z) = (x^2 y, , x y^2, , 5 - 4 x y z) = ( (2 sinphi costheta)^2 cdot 2 sinphi sintheta, , 2 sinphi costheta cdot (2 sinphi sintheta)^2, , 5 - 4 (2 sinphi costheta)(2 sinphi sintheta)(2 cosphi) ) , vamos calcular o produto escalar x^2 y = (2 sinphi costheta)^2 cdot 2 sinphi sintheta = 4 sin^2phi cos^2theta cdot 2 sinphi sintheta = 8 sin^3phi cos^2theta sintheta .
Primeiro, vamos expressar x y^2 = 2 sinphi costheta cdot (2 sinphi sintheta)^2 = 2 sinphi costheta cdot 4 sin^2phi sin^2theta = 8 sin^3phi costheta sin^2theta em coordenadas esféricas usando a parametrização 5 - 4 x y z = 5 - 4 cdot 2 sinphi costheta cdot 2 sinphi sintheta cdot 2 cosphi = 5 - 32 sin^2phi costheta sintheta cosphi :
F = (8 sin^3phi cos^2theta sintheta, , 8 sin^3phi costheta sin^2theta, , 5 - 32 sin^2phi costheta sintheta cosphi )
Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o campo na parametrização fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n = 8 sin^3phi cos^2theta sintheta cdot sinphi costheta + 8 sin^3phi costheta sin^2theta cdot sinphi sintheta + (5 - 32 sin^2phi costheta sintheta cosphi) cdot cosphi :
8 sin^3phi cos^2theta sintheta cdot sinphi costheta = 8 sin^4phi cos^3theta sintheta
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
8 sin^3phi costheta sin^2theta cdot sinphi sintheta = 8 sin^4phi costheta sin^3theta
  1. Segundo termo:
(5 - 32 sin^2phi costheta sintheta cosphi) cdot cosphi = 5 cosphi - 32 sin^2phi costheta sintheta cos^2phi
  1. Terceiro termo:
F cdot n = 8 sin^4phi cos^3theta sintheta + 8 sin^4phi costheta sin^3theta + 5 cosphi - 32 sin^2phi costheta sintheta cos^2phi
Então, o produto escalar completo fica:

Passo 9

Agora, vamos somar esses termos para simplificar:
F cdot n = 8 sin^4phi costheta sintheta (cos^2theta + sin^2theta) + 5 cosphi - 32 sin^2phi costheta sintheta cos^2phi
Sabendo que F cdot n = 8 sin^4phi costheta sintheta + 5 cosphi - 32 sin^2phi costheta sintheta cos^2phi :
F cdot n = 8 sin^4phi costheta sintheta (1) + 5 cosphi - 32 sin^2phi costheta sintheta cos^2phi
Podemos fatorar F cdot n = 8 sin^4phi costheta sintheta + 5 cosphi - 32 sin^2phi costheta sintheta cos^2phi :
F cdot n = 5 cosphi + costheta sintheta (8 sin^4phi - 32 sin^2phi cos^2phi)
Simplificando:
F cdot n = 5 cosphi + 8 costheta sintheta sin^2phi (1 - 4 cos^2phi)
Podemos observar que os termos com podem ser combinados:
Fatorando no segundo termo:

Passo 10

Agora, vamos montar a integral de superfície dS = |rphi times rtheta| , dphi , dtheta = 4 sinphi , dphi , dtheta . Em coordenadas esféricas, o elemento de área integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^pi/2 (5 cosphi + 8 costheta sintheta sin^2phi (1 - 4 cos^2phi)) cdot 4 sinphi , dphi , dtheta é dado por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^pi/2 (20 sinphi cosphi + 32 costheta sintheta sin^3phi (1 - 4 cos^2phi)) , dphi , dtheta
Então, a integral fica:
Vamos distribuir o nos termos dentro da integral:

Passo 11

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral duplaS F cdot n , dS = 20 integral0^2pi integral0^pi/2 sinphi cosphi , dphi , dtheta + 32 integral0^2pi integral0^pi/2 costheta sintheta sin^3phi (1 - 4 cos^2phi) , dphi , dtheta
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
I1 = 20 integral0^2pi integral0^pi/2 sinphi cosphi , dphi , dtheta
Segunda Integral:
I2 = 32 integral0^2pi integral0^pi/2 costheta sintheta sin^3phi (1 - 4 cos^2phi) , dphi , dtheta
Vamos calcular e individualmente.

Passo 12

Calculando I1 = 20 integral0^2pi integral0^pi/2 sinphi cosphi , dphi , dtheta :
integral0^pi/2 sinphi cosphi , dphi
Primeiro, integramos com relação a integral0^pi/2 sinphi cosphi , dphi = integral0^1 u , du = u^22|0^1 = 12 :
I1 = 20 cdot integral0^2pi 12 , dtheta = 20 cdot 12 cdot 2pi = 20 cdot pi = 20pi
Podemos usar a substituição I2 = 32 integral0^2pi integral0^pi/2 costheta sintheta sin^3phi (1 - 4 cos^2phi) , dphi , dtheta , então I2 = 32 ( integral0^2pi costheta sintheta , dtheta ) ( integral0^pi/2 sin^3phi (1 - 4 cos^2phi) , dphi ) :
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta
Agora, integramos com relação a integral costheta sintheta , dtheta = integral u , du = u^22 + C = sin^2theta2 + C :
sin^2theta2|0^2pi = sin^2(2pi)2 - sin^2(0)2 = 0 - 0 = 0
Calculando :
Primeiro, observe que a função é multiplicada por termos que dependem apenas de . Podemos separar as integrais:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Integral com relação a :
Podemos usar a substituição , então :
Avaliado de 0 a :
Então, será zero porque uma das integrais é zero.

Passo 13

Agora, juntando os resultados das integrais integral duplaS F cdot n , dS = I1 + I2 = 20pi + 0 = 20pi e :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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