Calcule nos seguintes casos: e a superfície , orientada com campo normal tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde precisamos calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície . A superfície é a parte superior de uma esfera de raio 2, definida por com . A integral que queremos calcular é , onde é o vetor normal à superfície apontando para cima ().
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície, como encontrar o vetor normal , e como parametrizar a superfície . Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de superfície . Basicamente, estamos calculando o fluxo do campo vetorial através da superfície . O fluxo nos dá uma medida de quanta “força” do campo está atravessando a superfície.
Para calcular isso, precisamos:
Parametrizar a superfície.
Encontrar o vetor normal à superfície.
Calcular o produto escalar.
Integrar esse produto sobre toda a superfície.
Vamos começar parametrizando a superfície .
Passo 3
Como a superfície é a parte superior de uma esfera de raio 2, podemos usar coordenadas esféricas para parametrizá-la. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser descrito por:
Onde:
é o raio da esfera (no nosso caso, ),
é o ângulo polar (varia de 0 a porque ),
é o ângulo azimutal (varia de 0 a ).
Então, a parametrização da superfície fica:
Passo 4
Agora que temos a parametrização, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, precisamos derivar rphi = partial rpartial phi = (2 cosphi costheta, , 2 cosphi sintheta, , -2 sinphi ) em relação a rtheta = partial rpartial theta = (-2 sinphi sintheta, , 2 sinphi costheta, , 0 ) e n = rphi times rtheta :
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses dois vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto vetorial.
Passo 5
Calculando o produto vetorial n = i & j & k 2 cosphi costheta & 2 cosphi sintheta & -2 sinphi -2 sinphi sintheta & 2 sinphi costheta & 0 :
n = i (0 - (-4 sin^2phi costheta)) - j (0 - (4 sin^2phi sintheta)) + k (4 sinphi cosphi cos^2theta + 4 sinphi cosphi sin^2theta)
Simplificando cada componente:
n = 4 sin^2phi costheta , i + 4 sin^2phi sintheta , j + 4 sinphi cosphi (cos^2theta + sin^2theta) , k
Então:
n = 4 sin^2phi costheta , i + 4 sin^2phi sintheta , j + 4 sinphi cosphi , k
Sabemos que n = 4 ( sin^2phi costheta , i + sin^2phi sintheta , j + sinphi cosphi , k ) , então:
Podemos fatorar o 4:
Passo 6
Agora precisamos encontrar o vetor normal unitário |n| = raiz(4 sin^2phi costheta)^2 + (4 sin^2phi sintheta)^2 + (4 sinphi cosphi)^2 , ou seja, com comprimento 1, e verificar a orientação. Porém, notamos que o vetor que calculamos já aponta para fora da esfera, que é a direção que queremos ( |n| = 4 raizsin^4phi cos^2theta + sin^4phi sin^2theta + sin^2phi cos^2phi ).
Mas para simplificar a integração, vamos considerar o módulo de |n| = 4 sinphi raizsin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + cos^2phi :