6- Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de
f(x)=\sqrt{x}, \quad \text { em } 1 \leq x \leq 4

Passo 1

O que o problema pede: calcular a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de f(x)=\sqrt{x} no intervalo 1\le x\le 4.
Informações fornecidas:
f(x)=\sqrt{x},\qquad 1\le x\le 4,
e o eixo de rotação é o eixo x.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e significado das letras. A área de superfície gerada pela rotação do gráfico de uma função y=f(x) em torno do eixo x, entre x=a e x=b, é dada por
S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Explicando: S é a área de superfície pedida; 2\pi f(x) é o comprimento da circunferência gerada por um ponto de altura y=f(x); \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx é o comprimento do elemento de arco (denotado ds) da curva quando variamos x por dx. O produto 2\pi f(x)\,ds dá a área de uma “tira” (faixa) infinitesimal da superfície; integrar de a a b soma todas as tiras.

Passo 3

Calcular f'(x). Escrevemos f(x)=x^{1/2}. Aplicando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}), obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Aqui x^{-1/2} significa 1/\sqrt{x}.

Passo 4

Montar o integrando substituindo f(x) e f'(x) na fórmula:
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2} =\sqrt{1+\frac{1}{4x}}.
Colocando tudo:
f(x)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2} =\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{1}{4x}}.
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro escrevemos a soma dentro da raiz com denominador comum:
1+\frac{1}{4x}=\frac{4x+1}{4x}.
Então
\sqrt{x}\,\sqrt{\frac{4x+1}{4x}} =\sqrt{x}\cdot\frac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{4x}}.
Como \sqrt{4x}=\sqrt{4}\sqrt{x}=2\sqrt{x}, temos
\sqrt{x}\cdot\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{4x+1}}{2}.
Portanto o integrando simplifica muito bem.

Passo 5

Substituindo na integral da área:
S = 2\pi \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{4x+1}}{2}\,dx = \pi \int_{1}^{4} \sqrt{4x+1}\,dx.
Para calcular essa integral, fazemos a substituição linear u=4x+1. Então du=4\,dx ou dx=\dfrac{du}{4}. Os limites mudam: quando x=1, u=4\cdot1+1=5; quando x=4, u=4\cdot4+1=17. A integral fica
S = \pi \int_{u=5}^{17} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{4} = \frac{\pi}{4}\int_{5}^{17} u^{1/2}\,du.
Agora integramos u^{1/2}. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim
S = \frac{\pi}{4}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{5}^{17} = \frac{\pi}{6}\left(u^{3/2}\right)\Big|_{5}^{17} = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr).
Escrevendo 17^{3/2}=17\sqrt{17} e 5^{3/2}=5\sqrt{5}, obtemos a forma mais explícita:
S = \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\bigr).

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: a expressão é positiva (pois 17\sqrt{17}>5\sqrt{5}), tem a unidade de área, e foi obtida de forma exata pela simplificação do integrando. Se quiser uma aproximação numérica rápida,
S\approx \frac{\pi}{6}\bigl(17\cdot 4,1231 - 5\cdot 2,2361\bigr) \approx \frac{\pi}{6}(70,093 - 11,180) \approx \frac{\pi}{6}\cdot58,913 \approx 30,85\\ \text{(aprox.)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\bigr)

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