4- Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo é
. - A rotação é em torno do eixo
.
O que se quer: a área total da superfície formada quando o arco do gráfico de
em
gira 360° ao redor do eixo
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula para a área de superfície de revolução em torno do eixo
. Imagine um pequeno pedaço do arco da curva entre
e
. Esse pedaço tem comprimento aproximado
, e ao girar em torno do eixo
gera uma faixa cujo comprimento em torno do eixo é
(circunferência de raio
). A área desse pedaço é aproximadamente
. Somando (integrando) ao longo do intervalo dá:
Agora lembramos que o elemento de arco em função de
é
Portanto a fórmula prática que usaremos é
onde:
-
é a área da superfície, -
é a função que gira (a distância ao eixo ), -
é a derivada de , -
e são os extremos do intervalo.
Passo 3
Calcule a derivada de
. Para
temos
Substituindo na fórmula da área com
e
, obtemos
Passo 4
Para resolver a integral é conveniente fazer a substituição trigonométrica simples
Então
, ou equivalentemente
. Precisamos também mudar os limites:
- quando
, ; - quando
, .
Substituindo na integral:
O sinal menos inverte os limites, então
Portanto a área fica
Passo 5
A função
é par (isto é,
). Logo a integral de
a
é o dobro da integral de
a
. Assim
Substituindo em
,
Passo 6
Agora precisamos calcular a primitiva de
. Uma forma limpa de obter essa primitiva é usar a substituição hiperbólica
. Vou explicar rápido por que funciona e os passos:
- Defina
. Lembre que as funções hiperbólicas satisfazem . Então
- Diferenciando,
. - Assim a integral fica
- Use a identidade
. Então
- Mas
. Substituindo de volta em termos de (lembre: e ) e também usando , obtemos a primitiva conhecida:
(Se preferir, essa é a primitiva padrão que pode ser memorizada; aqui mostrei de onde vem de forma direta.)
Passo 7
Use a primitiva para avaliar a integral definida de
a
:
Calcule em
:
Calcule em
:
Portanto
Passo 8
Retornando à expressão para
,
Fatorando
em comum e simplificando: