4- Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de
f(x)=\operatorname{sen} x, \quad \text { em } 0 \leq x \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função
f(x)=\operatorname{sen} x
no intervalo 0\le x\le \pi.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen} x.
  • O intervalo é [0,\pi].
  • A rotação é em torno do eixo x.
O que se quer: a área total da superfície formada quando o arco do gráfico de f em [0,\pi] gira 360° ao redor do eixo x.

Passo 2

Vamos usar a fórmula para a área de superfície de revolução em torno do eixo x. Imagine um pequeno pedaço do arco da curva entre x e x+dx. Esse pedaço tem comprimento aproximado ds, e ao girar em torno do eixo x gera uma faixa cujo comprimento em torno do eixo é 2\pi y (circunferência de raio y=f(x)). A área desse pedaço é aproximadamente 2\pi f(x)\,ds. Somando (integrando) ao longo do intervalo dá:
S = 2\pi \int_a^b f(x)\,ds.
Agora lembramos que o elemento de arco em função de x é
ds = \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Portanto a fórmula prática que usaremos é
S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx,
onde:
  • S é a área da superfície,
  • f(x) é a função que gira (a distância ao eixo x),
  • f'(x) é a derivada de f,
  • a e b são os extremos do intervalo.

Passo 3

Calcule a derivada de f. Para f(x)=\operatorname{sen} x temos
f'(x)=\cos x.
Substituindo na fórmula da área com a=0 e b=\pi, obtemos
S = 2\pi \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\;\sqrt{1+\cos^2 x}\;dx.

Passo 4

Para resolver a integral é conveniente fazer a substituição trigonométrica simples
u=\cos x.
Então du=-\operatorname{sen} x\,dx, ou equivalentemente \operatorname{sen} x\,dx = -du. Precisamos também mudar os limites:
  • quando x=0, u=\cos 0 = 1;
  • quando x=\pi, u=\cos\pi = -1.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx = \int_{x=0}^{x=\pi} \sqrt{1+u^2}\;(\operatorname{sen} x\,dx) = \int_{u=1}^{u=-1} \sqrt{1+u^2}\;(-du).
O sinal menos inverte os limites, então
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx = \int_{-1}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du.
Portanto a área fica
S = 2\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du.

Passo 5

A função u\mapsto \sqrt{1+u^2} é par (isto é, \sqrt{1+(-u)^2}=\sqrt{1+u^2}). Logo a integral de -1 a 1 é o dobro da integral de 0 a 1. Assim
\int_{-1}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du = 2\int_{0}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du.
Substituindo em S,
S = 2\pi \cdot 2\int_{0}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du = 4\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du.

Passo 6

Agora precisamos calcular a primitiva de \sqrt{1+u^2}. Uma forma limpa de obter essa primitiva é usar a substituição hiperbólica u=\operatorname{sinh} t. Vou explicar rápido por que funciona e os passos:
  • Defina u=\operatorname{sinh} t. Lembre que as funções hiperbólicas satisfazem \operatorname{cosh}^2 t - \operatorname{sinh}^2 t = 1. Então
\sqrt{1+u^2} = \sqrt{1+\operatorname{sinh}^2 t} = \operatorname{cosh} t.
  • Diferenciando, du = \operatorname{cosh} t\,dt.
  • Assim a integral fica
\int \sqrt{1+u^2}\;du = \int \operatorname{cosh} t\;(\operatorname{cosh} t\,dt) = \int \operatorname{cosh}^2 t \;dt.
  • Use a identidade \operatorname{cosh}^2 t = \tfrac{1}{2}(1+\operatorname{cosh} 2t). Então
\int \operatorname{cosh}^2 t \;dt = \tfrac{1}{2}\int (1+\operatorname{cosh} 2t)\;dt = \tfrac{1}{2}\bigl(t + \tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2t\bigr) + C.
  • Mas \operatorname{sinh} 2t = 2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t. Substituindo de volta em termos de u (lembre: \operatorname{sinh} t = u e \operatorname{cosh} t = \sqrt{1+u^2}) e também usando t=\operatorname{arsinh} u = \ln(u+\sqrt{1+u^2}), obtemos a primitiva conhecida:
\int \sqrt{1+u^2}\;du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr) + C.
(Se preferir, essa é a primitiva padrão que pode ser memorizada; aqui mostrei de onde vem de forma direta.)

Passo 7

Use a primitiva para avaliar a integral definida de 0 a 1:
\int_0^1 \sqrt{1+u^2}\;du = \left[\frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr)\right]_{0}^{1}.
Calcule em u=1:
\frac{1}{2}\sqrt{1+1^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr) = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Calcule em u=0:
\frac{0}{2}\sqrt{1+0^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(0+\sqrt{1}\bigr) = 0 + \frac{1}{2}\ln 1 = 0.
Portanto
\int_0^1 \sqrt{1+u^2}\;du = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Passo 8

Retornando à expressão para S,
S = 4\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du = 4\pi\left(\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\right).
Fatorando \tfrac{1}{2} em comum e simplificando:
S = 4\pi\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\right) = 2\pi\left(\sqrt{2}+\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\right).

Resposta

2\pi\left(\sqrt{2}+\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\right)

Exercícios relacionados