5- Determine a área da superfície gerada ao girar, em torno do eixo x :
y=\ln x \quad ; \quad x=1 \text { a } x=e

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da superfície gerada ao girar, em torno do eixo x, a curva
y=\ln x,
no intervalo
x=1 \quad\text{a}\quad x=e.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\begin{aligned} &\text{Função: }y=\ln x,\\\ &\text{Intervalo em }x:\;[1,e],\\\ &\text{Eixo de rotação: eixo }x. \end{aligned}çãçã
A pergunta concreta é: qual é a área da superfície obtida pela rotação dessa curva (para \,1\le x\le e) em torno do eixo x?

Passo 2

Fórmula que usamos (explicação didática):
quando uma curva dada por y=f(x) (com f(x)\ge0 no intervalo) é girada em torno do eixo x, a área da superfície gerada é
S=2\pi\int_{a}^{b} f(x)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Por que essa fórmula? Pense assim: um pequeno segmento de arco da curva tem comprimento aproximado
ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.
Ao girar esse pequeno segmento em torno do eixo x gera uma “faixa” cuja área aproximada é (circunferência média) vezes (comprimento do segmento):
dS\approx (2\pi\cdot \text{altura})\cdot ds = 2\pi f(x)\,ds = 2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.
Integrando de a a b somamos essas faixas e obtemos a fórmula acima. Cada símbolo:
  • f(x) é a coordenada y (distância ao eixo de rotação),
  • f'(x) é a derivada de f em relação a x,
  • ds é o elemento de comprimento de arco.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
f(x)=\ln x,\qquad a=1,\; b=e.
Calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
Substituindo na fórmula da área:
S=2\pi\int_{1}^{e} \ln x \,\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\,dx.
Vamos simplificar a raiz:
\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}=\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}.
Então o integrando fica
\ln x\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{x},
e a expressão para a área é
\boxed{\,S=2\pi\int_{1}^{e}\frac{\ln x\,\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx\,.}

Passo 4

Tentar simplificar a integral com uma substituição conveniente: x=e^{u}. Isso é natural porque aparece \ln x.
Fazendo x=e^{u} temos
\ln x = u,\qquad dx=e^{u}du,\qquad x= e^{u}.
Os limites mudam: quando x=1 então u=0; quando x=e então u=1.
Substituindo na integral:
\frac{\ln x\,\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx = u\cdot\frac{\sqrt{e^{2u}+1}}{e^{u}}\cdot e^{u}du = u\,\sqrt{e^{2u}+1}\,du.
Portanto
S=2\pi\int_{0}^{1} u\,\sqrt{e^{2u}+1}\,du.
Ou seja, reduzimos o problema a calcular a integral
I=\int_{0}^{1} u\,\sqrt{e^{2u}+1}\,du,
e então S=2\pi I.

Passo 5

Observação sobre primitiva: a função u\mapsto u\sqrt{e^{2u}+1} não possui uma primitiva simples e curta em termos de funções elementares usuais (a antiderivada pode ser escrita, mas fica com combinações longas de raízes e logaritmos). Por isso, para obter um valor numérico da área é apropriado calcular a integral definida por métodos numéricos (por exemplo a regra de Simpson), que nos dá resultado com boa precisão — e é uma técnica aceitável em provas quando a primitiva é complicada e o problema pede a área numérica.
Vou calcular I numericamente usando a regra de Simpson com n=8 subintervalos (passo h=0,125). Defino f(u)=u\sqrt{e^{2u}+1} e avalio em u_0=0,\;u_1=0{,}125,\;\dots,\;u_8=1.
Valores (aproximações):
\begin{aligned} f(0)&=0,\\\ f(0{,}125)&\approx 0{,}188915,\\\ f(0{,}25)&\approx 0{,}406870,\\\ f(0{,}375)&\approx 0{,}662500,\\\ f(0{,}5)&\approx 0{,}964600,\\\ f(0{,}625)&\approx 1{,}324720,\\\ f(0{,}75)&\approx 1{,}755800,\\\ f(0{,}875)&\approx 2{,}273600,\\\ f(1)&\approx 2{,}896758. \end{aligned}
Aplicando Simpson:
I\approx \frac{h}{3}\bigl[f(0)+4(f_1+f_3+f_5+f_7)+2(f_2+f_4+f_6)+f_8\bigr].
Substituindo os números (com h=0{,}125) obtém-se
I\approx 1{,}1220933\quad(\text{aproximado}).

Passo 6

Finalmente a área da superfície é
S=2\pi I \approx 2\pi\cdot 1{,}1220933 \approx 7{,}0561.
Isso nos dá uma resposta numérica com boa precisão. Se você preferir, a forma exata (antes da avaliação numérica) é
S=2\pi\int_{1}^{e}\frac{\ln x\,\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx,
que é equivalente ao integral em u que calculamos.
Força aí — a parte de montar a integral e simplificar a raiz é o passo chave numa prova; a integração concreta pode ser feita numericamente quando a primitiva fica feia.

Resposta

S=2\pi\int_{1}^{e}\frac{\ln x\,\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx \approx 7{,}0561.

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