5- Determine a área da superfície gerada ao girar, em torno do eixo x :
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da superfície gerada ao girar, em torno do eixo
, a curva
no intervalo
Informações relevantes que o enunciado dá:
A pergunta concreta é: qual é a área da superfície obtida pela rotação dessa curva (para
) em torno do eixo
?
Passo 2
Fórmula que usamos (explicação didática):
quando uma curva dada por (com
no intervalo) é girada em torno do eixo
, a área da superfície gerada é
quando uma curva dada por
Por que essa fórmula? Pense assim: um pequeno segmento de arco da curva tem comprimento aproximado
Ao girar esse pequeno segmento em torno do eixo
gera uma “faixa” cuja área aproximada é (circunferência média) vezes (comprimento do segmento):
Integrando de
a
somamos essas faixas e obtemos a fórmula acima. Cada símbolo:
-
é a coordenada (distância ao eixo de rotação), -
é a derivada de em relação a , -
é o elemento de comprimento de arco.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
Calculamos a derivada:
Substituindo na fórmula da área:
Vamos simplificar a raiz:
Então o integrando fica
e a expressão para a área é
Passo 4
Tentar simplificar a integral com uma substituição conveniente:
. Isso é natural porque aparece
.
Fazendo temos
Fazendo
Os limites mudam: quando
então
; quando
então
.
Substituindo na integral:
Substituindo na integral:
Portanto
Ou seja, reduzimos o problema a calcular a integral
e então
.
Passo 5
Observação sobre primitiva: a função
não possui uma primitiva simples e curta em termos de funções elementares usuais (a antiderivada pode ser escrita, mas fica com combinações longas de raízes e logaritmos). Por isso, para obter um valor numérico da área é apropriado calcular a integral definida por métodos numéricos (por exemplo a regra de Simpson), que nos dá resultado com boa precisão — e é uma técnica aceitável em provas quando a primitiva é complicada e o problema pede a área numérica.
Vou calcular
numericamente usando a regra de Simpson com
subintervalos (passo
). Defino
e avalio em
.
Valores (aproximações):
Aplicando Simpson:
Substituindo os números (com
) obtém-se
Passo 6
Finalmente a área da superfície é
Isso nos dá uma resposta numérica com boa precisão. Se você preferir, a forma exata (antes da avaliação numérica) é
que é equivalente ao integral em
que calculamos.
Força aí — a parte de montar a integral e simplificar a raiz é o passo chave numa prova; a integração concreta pode ser feita numericamente quando a primitiva fica feia.