Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, do gráfico da função dada.
f(x)=1-x^{2} e 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao rotacionar, em torno do eixo y, o arco de curva definido por
y = 1 - x^{2},\quad 0 \le x \le 1.
O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula para rotação em torno do eixo y:
S = 2\pi \int_{a}^{b} x \,\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y'(x) = \tfrac{d}{dx}(1 - x^{2}) = -2x,
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1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2} = 1 + 4x^{2}.
Substituindo na fórmula, temos
S = 2\pi \int_{0}^{1} x\,\sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx.

Passo 3

Para calcular
I = \int_{0}^{1} x\,\sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx,
fazemos a substituição
u = 1 + 4x^{2},\quad du = 8x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{8}.
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=5.

Passo 4

Em termos de u, o integral fica
I = \int_{u=1}^{u=5} \sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8} \int_{1}^{5} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{8}\,\biggl[\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}\biggr]_{1}^{5} = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\,\bigl(5^{\tfrac32}-1\bigr) = \frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Passo 5

Portanto, a área da superfície é
S = 2\pi\,I = 2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr) = \frac{\pi}{6}\,\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Resposta

S = \frac{\pi}{6}\,(5\sqrt{5} - 1)

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