Calcule o comprimento do gráfico da função dada.
f(x)=4 x+3,0 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do gráfico da função linear f(x)=4x+3 no intervalo [0,2]. O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco de uma curva y=f(x). Para isso, vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx,
onde f é diferenciável em [a,b].

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=4x+3, temos
f'(x)=4
para todo x.

Passo 3

Na fórmula do comprimento de arco, o integrando fica
\sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2} = \sqrt{1 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17},
que é constante em [0,2].

Passo 4

Substituímos o integrando constante na integral de 0 a 2:
L = \int_{0}^{2} \sqrt{17}\,dx = \sqrt{17} \,\bigl[x\bigr]_{0}^{2} = \sqrt{17}\,(2 - 0).

Resposta

O comprimento do gráfico é
L = 2\sqrt{17}.

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