Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, do gráfico da função dada.
f(x)=\sqrt{x} e 1 \leq x \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada ao rotacionar, em torno do eixo y, o gráfico de f(x)=\sqrt{x} para 1\le x\le4. O conteúdo aqui é superfície de revolução em torno do eixo y, cuja fórmula é
S = \int_{a}^{b} 2\pi\bigl(\text{raio}\bigr)\,ds,
onde o raio é a abscissa x e ds=\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de
f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}
f'(x)=\frac12\,x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Então
ds = \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx = \sqrt{1+\frac{1}{4x}}\,dx = \sqrt{\frac{4x+1}{4x}}\,dx = \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}\,dx.
A área será
S = \int_{1}^{4}2\pi\,x\;\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}\,dx = \pi\int_{1}^{4}\frac{x\,\sqrt{4x+1}}{\sqrt{x}}\,dx = \pi\int_{1}^{4}\sqrt{x(4x+1)}\,dx.

Passo 3

Simplificamos o integrando: \sqrt{x(4x+1)} = \sqrt{4x^2 + x}. Logo
S = \pi\int_{1}^{4}\sqrt{4x^2+x}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle I=\int\sqrt{4x^2+x}\,dx, completamos o quadrado em 4x^2+x:
4x^2+x = 4x^2 + x + \tfrac1{16} - \tfrac1{16} = \bigl(2x+\tfrac14\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac14\bigr)^{2}.
Defina
t = 2x+\tfrac14,\quad a=\tfrac14,\quad dt=2\,dx\implies dx=\tfrac{dt}{2}.
Então
I = \int \sqrt{t^{2}-a^{2}}\;\frac{dt}{2} = \tfrac12\int\sqrt{t^{2}-a^{2}}\,dt.
Sabendo que
\int\sqrt{t^{2}-a^{2}}\,dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2}\ln\bigl|t+\sqrt{t^{2}-a^{2}}\bigr| + C,
segue
I = \frac{t}{4}\sqrt{t^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{4}\ln\bigl|t+\sqrt{t^{2}-a^{2}}\bigr| + C.
Voltando a x, t=2x+\tfrac14 e \sqrt{t^{2}-a^{2}}=\sqrt{4x^2+x}, temos
I = \Bigl(x/2+\tfrac1{16}\Bigr)\sqrt{4x^2+x} - \frac{1}{64}\ln\!\Bigl(2x+\tfrac14+\sqrt{4x^2+x}\Bigr) + C.

Passo 5

Agora avaliamos em x=4 e x=1.
Para x=4:
\sqrt{4\cdot4^2+4} = \sqrt{68}=2\sqrt{17},\quad x/2+\tfrac1{16}=2+\tfrac1{16}=\tfrac{33}{16},
I(4)=\tfrac{33}{16}\cdot2\sqrt{17} -\tfrac{1}{64}\ln\!\Bigl(\tfrac{33}{4}+2\sqrt{17}\Bigr) = \tfrac{33}{8}\sqrt{17} -\tfrac{1}{64}\ln\!\Bigl(\tfrac{33}{4}+2\sqrt{17}\Bigr).
Para x=1:
\sqrt{4\cdot1^2+1}=\sqrt{5},\quad x/2+\tfrac1{16}=\tfrac12+\tfrac1{16}=\tfrac9{16},
I(1)=\tfrac{9}{16}\sqrt{5} -\tfrac{1}{64}\ln\!\Bigl(\tfrac{9}{4}+\sqrt{5}\Bigr).
Assim
\int_{1}^{4}\sqrt{4x^2+x}\,dx = I(4)-I(1) = \Bigl(\tfrac{33}{8}\sqrt{17}-\tfrac{9}{16}\sqrt{5}\Bigr) -\tfrac{1}{64}\ln\!\frac{\tfrac{33}{4}+2\sqrt{17}}{\tfrac{9}{4}+\sqrt{5}}.

Passo 6

Multiplicando por \pi, obtemos a área final
S = \pi\Bigl(\tfrac{33}{8}\sqrt{17}-\tfrac{9}{16}\sqrt{5}\Bigr) - \frac{\pi}{64}\ln\!\frac{\tfrac{33}{4}+2\sqrt{17}}{\tfrac{9}{4}+\sqrt{5}}.

Resposta

S = \pi\Bigl(\tfrac{33}{8}\sqrt{17}-\tfrac{9}{16}\sqrt{5}\Bigr) - \frac{\pi}{64}\ln\!\frac{\tfrac{33}{4}+2\sqrt{17}}{\tfrac{9}{4}+\sqrt{5}}.

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