Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao rotacionar a curva
, com
, em torno do eixo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva é
definida para entre e . - O eixo de rotação é o eixo
. - Queremos a área da superfície gerada pela rotação desse arco de curva.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para área de superfície de revolução ao girar uma curva
em torno do eixo
. A ideia física é pegar um pequeno pedaço de curva, aproximá‑lo por um segmento de reta de comprimento
, e esse segmento, ao girar em torno do eixo
, descreve uma faixa lateral aproximada de área
. Para a curva parametrizada por
temos
Portanto a fórmula da área é
onde:
-
é a área da superfície, -
é a altura do ponto da curva (distância até o eixo ), -
é a derivada de em relação a , -
é o intervalo de que estamos girando (aqui ).
Passo 3
Agora calculamos a derivada de
. Usamos a regra de potência:
, então
Observação prática: em
essa derivada tende para infinito, mas a expressão dentro da integral vai simplificar e ficar finita — vamos ver isso no próximo passo. Não precisamos de tratamento especial porque a integral final será própria (finita).
Passo 4
Substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificamos a raiz interna passo a passo. Primeiro
A raiz dessa fração é
Multiplicando por
(o fator
fora da raiz) obtemos
Assim o integrando inteiro
simplifica para
. Substituindo na integral:
Repare como a singularidade aparente em
desapareceu — por isso está tudo certo.
Passo 5
Agora calculamos a integral
Fazemos a substituição linear
. Então
ou
. Os limites transformam-se: quando
temos
; quando
temos
. A integral vira
Integrando
obtemos
. Portanto
Passo 6
Voltando para
vezes a integral que calculamos, temos
Podemos escrever
como
, então uma forma elegante da resposta é
Se quiser um valor numérico aproximado,
é aproximadamente
, então
(mas a forma exata em termos de raiz é preferível).