Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva y= \sqrt{x}, x \in[0,4], em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao rotacionar a curva y=\sqrt{x}, com x\in[0,4], em torno do eixo x.
Informações dadas:
  • A curva é y=\sqrt{x} definida para x entre 0 e 4.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • Queremos a área da superfície gerada pela rotação desse arco de curva.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para área de superfície de revolução ao girar uma curva y=f(x) em torno do eixo x. A ideia física é pegar um pequeno pedaço de curva, aproximá‑lo por um segmento de reta de comprimento ds, e esse segmento, ao girar em torno do eixo x, descreve uma faixa lateral aproximada de área 2\pi y\,ds. Para a curva parametrizada por x temos
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.
Portanto a fórmula da área é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y(x)\,\sqrt{1+\big(y'(x)\big)^2}\,dx,
onde:
  • S é a área da superfície,
  • y(x) é a altura do ponto da curva (distância até o eixo x),
  • y'(x)=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x,
  • [a,b] é o intervalo de x que estamos girando (aqui [0,4]).

Passo 3

Agora calculamos a derivada de y=\sqrt{x}. Usamos a regra de potência: \sqrt{x}=x^{1/2}, então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação prática: em x=0 essa derivada tende para infinito, mas a expressão dentro da integral vai simplificar e ficar finita — vamos ver isso no próximo passo. Não precisamos de tratamento especial porque a integral final será própria (finita).

Passo 4

Substituímos y e y' na fórmula da área:
S = 2\pi \int_{0}^{4} \sqrt{x}\,\sqrt{1+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2}\,dx.
Simplificamos a raiz interna passo a passo. Primeiro
1+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = 1+\frac{1}{4x} = \frac{4x+1}{4x}.
A raiz dessa fração é
\sqrt{\frac{4x+1}{4x}}=\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}.
Multiplicando por \sqrt{x} (o fator y fora da raiz) obtemos
\sqrt{x}\cdot\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{4x+1}}{2}.
Assim o integrando inteiro \sqrt{x}\sqrt{1+(y')^2} simplifica para \dfrac{\sqrt{4x+1}}{2}. Substituindo na integral:
S = 2\pi \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{4x+1}}{2}\,dx = \pi \int_{0}^{4} \sqrt{4x+1}\,dx.
Repare como a singularidade aparente em x=0 desapareceu — por isso está tudo certo.

Passo 5

Agora calculamos a integral
\int_{0}^{4} \sqrt{4x+1}\,dx.
Fazemos a substituição linear \,u=4x+1. Então du=4\,dx ou dx=\dfrac{du}{4}. Os limites transformam-se: quando x=0 temos u=1; quando x=4 temos u=17. A integral vira
\int_{0}^{4} \sqrt{4x+1}\,dx = \int_{1}^{17} \sqrt{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int_{1}^{17} u^{1/2}\,du.
Integrando u^{1/2} obtemos \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\frac{1}{4}\int_{1}^{17} u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{1}^{17} = \frac{1}{6}\big(17^{3/2}-1^{3/2}\big).

Passo 6

Voltando para S=\pi vezes a integral que calculamos, temos
S = \pi\cdot\frac{1}{6}\big(17^{3/2}-1\big)=\frac{\pi}{6}\big(17^{3/2}-1\big).
Podemos escrever 17^{3/2} como 17\sqrt{17}, então uma forma elegante da resposta é
S=\frac{\pi}{6}\big(17\sqrt{17}-1\big).
Se quiser um valor numérico aproximado, 17\sqrt{17} é aproximadamente 70,092, então S\approx \dfrac{\pi}{6}(70,092-1)\approx \dfrac{\pi}{6}\cdot69,092\approx 36,183 (mas a forma exata em termos de raiz é preferível).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\big(17\sqrt{17}-1\big)

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