Calcule o volume gerado pela rotação em torno do eixo y :
Região limitada por y=x^{2} e y=4.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o volume gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região do plano limitada pelas curvas y=x^{2} e y=4.\n
Informações dadas:
\,y=x^{2} (parábola aberta para cima) e \,y=4 (reta horizontal).
A rotação é feita em torno do eixo y.
O objetivo final é um valor numérico do volume do sólido gerado pela rotação.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta e motivo):\n
Quando giramos uma região em torno do eixo y, uma opção natural é cortar o sólido com planos perpendiculares ao eixo de rotação (planos horizontais) e usar o método dos discos/anelos (washers). Nesse método, para cada altura y obtemos uma seção transversal que é um disco (ou anel) de área conhecida; somando essas áreas infinitesimais obtemos o volume. Esse método é direto aqui porque, para cada y entre os limites da região, a seção é um disco de raio simples de encontrar. Evitamos o método de cascas cilíndricas porque, embora também aplicável, ele pode causar confusão sobre contagem e simetrias; o método dos discos é mais simples e menos propenso a erro neste caso.

Passo 3

Definir a variação de y (limites de integração):\n
A região está entre y=x^{2} (abaixo) e y=4 (acima). O menor valor de y alcançado na região é o mínimo da parábola na região considerada, que é y=0 (em x=0). O maior é y=4. Portanto a variável y varia de \,0 até \,4. Em símbolos:
0 \le y \le 4.

Passo 4

Encontrar o raio do disco em função de y:\n
Para um nível fixo y (entre 0 e 4), os pontos da região têm abscissas entre x=-\sqrt{y} e x=+\sqrt{y} (isto vem de resolver \,y=x^{2} para x). Ao girar a fita horizontal nessa altura em torno do eixo y, obtemos um disco cujo raio é a distância máxima ao eixo y, ou seja
R(y)=\sqrt{y}.
Área do disco nessa altura:
A(y)=\pi\bigl(R(y)\bigr)^{2}=\pi\bigl(\sqrt{y}\bigr)^{2}=\pi y.
Aqui explico: R(y) é a distância radial do eixo y até a borda da região no mesmo nível y; substituir em \pi R^{2} dá a área circular da seção.

Passo 5

Montar a integral do volume pelo método dos discos:\n
A fórmula do método dos discos é
V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} A(y)\,dy.
Substituindo A(y)=\pi y e os limites 0 e 4, temos
V=\int_{0}^{4} \pi y\,dy.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo:\n
Extraímos a constante \pi:
V=\pi\int_{0}^{4} y\,dy.
A primitiva de y é \tfrac{y^{2}}{2}. Aplicando os limites:
\int_{0}^{4} y\,dy=\left.\tfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{4}=\tfrac{4^{2}}{2}-\tfrac{0^{2}}{2}=\tfrac{16}{2}=8.
Portanto
V=\pi\cdot 8=8\pi.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida:\n
O resultado faz sentido dimensionalmente (volume proporcional a \pi). O método dos discos foi direto porque, para cada y, a seção transversal é um disco de raio \sqrt{y}. (Observação: se alguém tentar aplicar cascas cilíndricas sem cuidado, é fácil tropeçar em contagens duplicadas por simetria; por isso preferimos os discos aqui.)

Resposta

8\pi

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