Determine o comprimento da curva:
em
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por
no intervalo
.
Informações dadas:
O que se pede:
- Determinar o comprimento da curva (a medida do arco) entre os pontos correspondentes a
e .
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco (aula rápida e intuitiva).
Se é diferenciável em
, um pequeno segmento de curva entre
e
tem comprimento aproximadamente
Se
Integrando esses pequenos comprimentos de
até
obtemos o comprimento total:
Aqui:
-
é a derivada de em relação a ; -
é o pequeno incremento em ; -
é o fator que transforma no comprimento real do pequeno arco.
Essa é a fórmula que vamos aplicar.
Passo 3
Calcule a derivada de
. Como
,
Expliquei: derivei potência por potência usando a regra
; aqui
e o fator
cancela com o
da derivada.
Passo 4
Monte a integral do comprimento usando a fórmula do Passo 2:
Portanto o comprimento da curva fica reduzido a calcular
.
Passo 5
Observação importante (leve e honesta): a integral
não possui primitiva expressável em funções elementares conhecidas (somos obrigados a usar funções especiais ou métodos numéricos). Em provas de cálculo frequentemente é aceitável deixar a resposta na forma integral quando pedem “determinar”, ou então apresentar uma aproximação numérica. Vou mostrar duas maneiras úteis de proceder numa prova:
-
Método A (forma exata): escrever a resposta como integral definidae comentar que não há primitiva elementar.
-
Método B (aproximação numérica prática): usar um método numérico simples e confiável — por exemplo, a Regra de Simpson — para obter uma aproximação com boa precisão. Vou fazer a Simpson com
subintervalos (é um método que dá boa precisão para funções suaves como esta).
Passo 6
Aplicando a Regra de Simpson com
(passo
):
Valores necessários
em
. Vou usar aproximações por desenvolvimento em série ou aproximações simples porque
é pequeno em muitos pontos; os valores aproximados são:
Regra de Simpson (fórmula):
Substituindo os valores e calculando (mostrei os
acima):
Portanto uma aproximação numérica confiável é
. (Se você quisesse mais precisão, aumentávamos
e repetiríamos; a sequência
converge rápido porque a função é suave.)
Passo 7
Resumo didático do que fazer numa prova:
- Escreva a fórmula do comprimento:
. - Calcule
(aqui ). - Substitua e obtenha a integral definida (aqui
). - Se o enunciado pede forma exata: entregue a integral. Se pede valor numérico: use um método numérico (Simpson, trapézio refinado ou série) e estime a precisão.