Determine o comprimento da curva:
y=\frac{x^{3}}{3} em 0,1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por y=\dfrac{x^{3}}{3} no intervalo [0,1].
Informações dadas:
y=\frac{x^{3}}{3},\qquad x\in[0,1].
O que se pede:
  • Determinar o comprimento da curva (a medida do arco) entre os pontos correspondentes a x=0 e x=1.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco (aula rápida e intuitiva).
Se y=f(x) é diferenciável em [a,b], um pequeno segmento de curva entre x e x+dx tem comprimento aproximadamente
ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Integrando esses pequenos comprimentos de a até b obtemos o comprimento total:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\,dx.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada de f em relação a x;
  • dx é o pequeno incremento em x;
  • \sqrt{1+(f'(x))^{2}} é o fator que transforma dx no comprimento real do pequeno arco.
Essa é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 3

Calcule a derivada de y. Como y=\dfrac{x^{3}}{3},
y'=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}.
Expliquei: derivei potência por potência usando a regra \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}; aqui n=3 e o fator 1/3 cancela com o 3 da derivada.

Passo 4

Monte a integral do comprimento usando a fórmula do Passo 2:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\big(y'(x)\big)^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(x^{2})^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{4}}\,dx.
Portanto o comprimento da curva fica reduzido a calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{4}}\,dx.

Passo 5

Observação importante (leve e honesta): a integral \displaystyle \int\sqrt{1+x^{4}}\,dx não possui primitiva expressável em funções elementares conhecidas (somos obrigados a usar funções especiais ou métodos numéricos). Em provas de cálculo frequentemente é aceitável deixar a resposta na forma integral quando pedem “determinar”, ou então apresentar uma aproximação numérica. Vou mostrar duas maneiras úteis de proceder numa prova:
  • Método A (forma exata): escrever a resposta como integral definida
    L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{4}}\,dx,
    e comentar que não há primitiva elementar.
  • Método B (aproximação numérica prática): usar um método numérico simples e confiável — por exemplo, a Regra de Simpson — para obter uma aproximação com boa precisão. Vou fazer a Simpson com n=8 subintervalos (é um método que dá boa precisão para funções suaves como esta).

Passo 6

Aplicando a Regra de Simpson com n=8 (passo h=\dfrac{1-0}{8}=\dfrac{1}{8}=0,125):
Valores necessários f(x)=\sqrt{1+x^{4}} em x=0,0{,}125,0{,}25,\dots,1. Vou usar aproximações por desenvolvimento em série ou aproximações simples porque x^{4} é pequeno em muitos pontos; os valores aproximados são:
\begin{aligned} f(0)&=1,\\\ f(0{,}125)&\approx1{,}000122070,\\\ f(0{,}25)&\approx1{,}001951218,\\\ f(0{,}375)&\approx1{,}009839290,\\\ f(0{,}5)&\approx1{,}030776406,\\\ f(0{,}625)&\approx1{,}073605000,\\\ f(0{,}75)&\approx1{,}147668625,\\\ f(0{,}875)&\approx1{,}262730000,\\\ f(1)&=\sqrt{2}\approx1{,}414213562. \end{aligned}
Regra de Simpson (fórmula):
\int_{0}^{1}f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\Big(f_{0}+4f_{1}+2f_{2}+4f_{3}+2f_{4}+4f_{5}+2f_{6}+4f_{7}+f_{8}\Big).
Substituindo os valores e calculando (mostrei os f acima):
\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{4}}\,dx\approx 0{,}125/3\cdot 26{,}16019225\approx 1{,}0900080.
Portanto uma aproximação numérica confiável é L\approx 1{,}09001. (Se você quisesse mais precisão, aumentávamos n e repetiríamos; a sequência n=4,8,16 converge rápido porque a função é suave.)

Passo 7

Resumo didático do que fazer numa prova:
  • Escreva a fórmula do comprimento: L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f')^{2}}\,dx.
  • Calcule f' (aqui f'(x)=x^{2}).
  • Substitua e obtenha a integral definida (aqui \int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{4}}\,dx).
  • Se o enunciado pede forma exata: entregue a integral. Se pede valor numérico: use um método numérico (Simpson, trapézio refinado ou série) e estime a precisão.

Resposta

L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{4}}\,dx\approx 1{,}09001

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