5- Calcule a área da superfície parametrizada \sigma(u, v)=\left(u, v, u^{2}\right) para 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície parametrizada \sigma(u,v)=\left(u,v,u^{2}\right) sobre o retângulo do domínio dado por 0\le u\le 1 e 0\le v\le 2.
Informações relevantes dadas:
\sigma(u,v) = (u,\; v,\; u^{2}),
domínio D=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le 2\}.
A pergunta é: qual é a área dessa superfície sobre esse domínio?

Passo 2

Método escolhido (explicando por que): para uma superfície parametrizada por \sigma(u,v) em coordenadas (u,v), o elemento de área local é dado pelo módulo do produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v. Geometricamente, \sigma_u e \sigma_v são vetores tangentes que formam um paralelogramo infinitesimal; a área desse paralelogramo é \|\sigma_u\times\sigma_v\|. Assim a área total é a integral dupla
\text{Área}=\iint_{D}\|\sigma_u\times\sigma_v\|\,du\,dv.Á
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \sigma em relação a u e v. Lembre que derivada parcial trata uma variável como a variável de diferenciação e a outra como constante.
\sigma(u,v)=(u,\;v,\;u^{2}).
Derivando em relação a u:
\sigma_u=\frac{\partial\sigma}{\partial u}=(1,\;0,\;2u).
Derivando em relação a v:
\sigma_v=\frac{\partial\sigma}{\partial v}=(0,\;1,\;0).
Expliquei: a componente x=u tem derivada 1 em relação a u; y=v tem derivada 0 em relação a u; z=u^2 tem derivada 2u.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v. Para vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) usamos o determinante com a base \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.
\sigma_u\times\sigma_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 2u \\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
  • Componente \mathbf{i}: 0\cdot 0 - 2u\cdot 1 = -2u.
  • Componente \mathbf{j}: -(1\cdot 0 - 2u\cdot 0) = 0.
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1.
Portanto
\sigma_u\times\sigma_v = (-2u,\;0,\;1).

Passo 5

Calcular o módulo (norma) do vetor \sigma_u\times\sigma_v. Para um vetor (a,b,c) temos \|(a,b,c)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Assim
\|\sigma_u\times\sigma_v\|=\sqrt{(-2u)^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{4u^{2}+1}.
Esse é o elemento de área local em função de u (não depende de v), ou seja, dS=\sqrt{4u^{2}+1}\,du\,dv.

Passo 6

Agora montamos a integral dupla sobre o domínio D:
\text{Área}=\int_{v=0}^{2}\int_{u=0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\;du\;dv.Á
Como o integrando não depende de v, a integração em v simplesmente multiplica por 2:
\text{Área}=2\int_{0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\;du.Á
Agora precisamos calcular a integral unidimensional I=\int_{0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\;du.

Passo 7

Para calcular I=\int_{0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\;du uso uma substituição hiperbólica padrão. A ideia: para integrar \sqrt{a^{2}u^{2}+b^{2}} é útil tomar u=(b/a)\operatorname{sinh} t. Aqui a=2 e b=1, então escolho
u=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t.
Derivando:
du=\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\;dt.
Observe também:
\sqrt{4u^{2}+1}=\sqrt{4\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t\right)^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}t+1}=\operatorname{cosh} t.
Substituindo na integral:
\sqrt{4u^{2}+1}\;du = \operatorname{cosh} t\cdot \tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\;dt = \tfrac{1}{2}\operatorname{cosh}^{2}t\;dt.
Usamos a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}t=\tfrac{1+\operatorname{cosh} 2t}{2} para integrar facilmente:
\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh}^{2}t = \tfrac{1}{4}\bigl(1+\operatorname{cosh} 2t\bigr).
Assim
\int \sqrt{4u^{2}+1}\;du = \int \tfrac{1}{4}\bigl(1+\operatorname{cosh} 2t\bigr)\;dt = \tfrac{1}{4}t + \tfrac{1}{8}\operatorname{sinh} 2t + C.
Reescrevendo \operatorname{sinh} 2t = 2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t, obtemos uma forma mais simples:
\int \sqrt{4u^{2}+1}\;du = \tfrac{1}{4}t + \tfrac{1}{4}\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t + C.

Passo 8

Voltando para a variável u: temos \operatorname{sinh} t = 2u (pela substituição) e \operatorname{cosh} t=\sqrt{4u^{2}+1}. Além disso t=\operatorname{arsinh}(2u), e a identidade para \operatorname{arsinh} é
\operatorname{arsinh}(x)=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Portanto a primitiva encontrada pode ser escrita em função de u como
\int \sqrt{4u^{2}+1}\;du = \tfrac{1}{4}\operatorname{arsinh}(2u) + \tfrac{1}{2}u\sqrt{4u^{2}+1} + C.
Agora avaliamos a integral definida de 0 a 1:
I=\left[\tfrac{1}{4}\operatorname{arsinh}(2u) + \tfrac{1}{2}u\sqrt{4u^{2}+1}\right]_{0}^{1}.
Calculando as bordas:
  • Para u=1: \sqrt{4\cdot1^{2}+1}=\sqrt{5} e \operatorname{arsinh}(2)=\ln\!\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
  • Para u=0: \operatorname{arsinh}(0)=0 e o outro termo é zero.
Logo
I=\tfrac{1}{4}\ln\!\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)+\tfrac{1}{2}\sqrt{5}.

Passo 9

Voltando à área total:
\text{Área}=2I = 2\left(\tfrac{1}{2}\sqrt{5} + \tfrac{1}{4}\ln\!\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\right).Á
Simplificando:
\text{Área}=\sqrt{5} + \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).Á

Resposta

\sqrt{5}+\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)

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