5- Calcule a área da superfície parametrizada \sigma(u, v)=\left(u, v, u^{2}\right) para 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da superfície parametrizada \sigma(u,v)=\left(u,v,u^{2}\right) sobre o retângulo do domínio dado por 0\le u\le 1 e 0\le v\le 2.
Informações relevantes dadas:
\sigma(u,v) = (u,\; v,\; u^{2}),
domínio D=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le 2\}.
A pergunta é: qual é a área dessa superfície sobre esse domínio?
Passo 2
Método escolhido (explicando por que): para uma superfície parametrizada por \sigma(u,v) em coordenadas (u,v), o elemento de área local é dado pelo módulo do produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v. Geometricamente, \sigma_u e \sigma_v são vetores tangentes que formam um paralelogramo infinitesimal; a área desse paralelogramo é \|\sigma_u\times\sigma_v\|. Assim a área total é a integral dupla
Calcular as derivadas parciais de \sigma em relação a u e v. Lembre que derivada parcial trata uma variável como a variável de diferenciação e a outra como constante.
Expliquei: a componente x=u tem derivada 1 em relação a u; y=v tem derivada 0 em relação a u; z=u^2 tem derivada 2u.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v. Para vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) usamos o determinante com a base \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.
Como o integrando não depende de v, a integração em v simplesmente multiplica por 2:
\text{Área}=2\int_{0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\;du.Á
Agora precisamos calcular a integral unidimensional I=\int_{0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\;du.
Passo 7
Para calcular I=\int_{0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\;du uso uma substituição hiperbólica padrão. A ideia: para integrar \sqrt{a^{2}u^{2}+b^{2}} é útil tomar u=(b/a)\operatorname{sinh} t. Aqui a=2 e b=1, então escolho
u=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t.
Derivando:
du=\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\;dt.
Observe também:
\sqrt{4u^{2}+1}=\sqrt{4\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t\right)^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}t+1}=\operatorname{cosh} t.
Reescrevendo \operatorname{sinh} 2t = 2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t, obtemos uma forma mais simples:
\int \sqrt{4u^{2}+1}\;du = \tfrac{1}{4}t + \tfrac{1}{4}\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t + C.
Passo 8
Voltando para a variável u: temos \operatorname{sinh} t = 2u (pela substituição) e \operatorname{cosh} t=\sqrt{4u^{2}+1}. Além disso t=\operatorname{arsinh}(2u), e a identidade para \operatorname{arsinh} é