3- Considere a superfície z=x y. Calcule a área da superfície acima do disco \quad D=\left\{(x, y) ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=xy e pede a área dessa superfície acima do disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função da superfície é z=f(x,y)=xy.
  • O domínio no plano xy é o disco de raio 2 centrado na origem, ou seja x^{2}+y^{2}\le 4.
    A pergunta a responder é: qual é a área da superfície z=xy sobre o domínio D?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando bem): para uma superfície dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área da superfície é
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^{2}+f_y(x,y)^{2}}\;dA.Á
O que isto significa:
  • f_x(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície na direção x.
  • f_y(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y: mede a inclinação na direção y.
  • A expressão \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}} vem de aproximar cada pedacinho da superfície por um pequeno plano tangente; essa raiz corrige a área do patch do plano para a área real da superfície.
    Aqui, f(x,y)=xy. Vamos calcular as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.

Passo 3

Substituindo f_x e f_y na fórmula da área obtemos o integrando:
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+y^{2}+x^{2}}=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}.
Note que o integrando depende somente em x^{2}+y^{2}; isso indica simetria radial, ou seja, é natural usar coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
No disco D temos 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Escrevendo o integral em polares, a área fica
\text{Área}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\sqrt{1+r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.Á
Expliquei: trocamos x^{2}+y^{2} por r^{2} e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Vamos calcular o integral interno \int_{0}^{2} r\sqrt{1+r^{2}}\,dr. Use a substituição u=1+r^{2}. Então
du=2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{2}.
Os limites em r: quando r=0 temos u=1; quando r=2 temos u=1+4=5. Assim
\int_{0}^{2} r\sqrt{1+r^{2}}\,dr = \int_{u=1}^{5} \sqrt{u}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.
A primitiva de u^{1/2} é \tfrac{2}{3}u^{3/2}, logo
\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{1}^{5} = \frac{1}{3}\big(5^{3/2}-1^{3/2}\big)=\frac{1}{3}\big(5^{3/2}-1\big).
Observação: 5^{3/2}=5\sqrt{5}.

Passo 6

Agora integramos em \theta. Como o resultado do integral em r não depende de \theta, multiplicamos por \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Portanto
\text{Área}=2\pi\cdot \frac{1}{3}\big(5^{3/2}-1\big)=\frac{2\pi}{3}\big(5^{3/2}-1\big).Á
Podemos também escrever \;5^{3/2}=5\sqrt{5}, ficando uma forma equivalente
\text{Área}=\frac{2\pi}{3}\big(5\sqrt{5}-1\big).Á

Passo 7

Pequena intuição/cheque: a área do disco plano de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi. Nosso valor
\frac{2\pi}{3}\big(5^{3/2}-1\big)
é maior que 4\pi (faz sentido: a superfície z=xy é inclinada, então tem área maior que a projeção plana). Dá para calcular o valor numérico para conferir se quiser.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}\big(5^{3/2}-1\big)

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