3- Considere a superfície z=x y. Calcule a área da superfície acima do disco \quad D=\left\{(x, y) ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por z=xy e pede a área dessa superfície acima do disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Informações relevantes dadas:
A função da superfície é z=f(x,y)=xy.
O domínio no plano xy é o disco de raio 2 centrado na origem, ou seja x^{2}+y^{2}\le 4.
A pergunta a responder é: qual é a área da superfície z=xy sobre o domínio D?
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando bem): para uma superfície dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área da superfície é
f_x(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície na direção x.
f_y(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y: mede a inclinação na direção y.
A expressão \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}} vem de aproximar cada pedacinho da superfície por um pequeno plano tangente; essa raiz corrige a área do patch do plano para a área real da superfície.
Aqui, f(x,y)=xy. Vamos calcular as derivadas parciais:
Podemos também escrever \;5^{3/2}=5\sqrt{5}, ficando uma forma equivalente
\text{Área}=\frac{2\pi}{3}\big(5\sqrt{5}-1\big).Á
Passo 7
Pequena intuição/cheque: a área do disco plano de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi. Nosso valor
\frac{2\pi}{3}\big(5^{3/2}-1\big)
é maior que 4\pi (faz sentido: a superfície z=xy é inclinada, então tem área maior que a projeção plana). Dá para calcular o valor numérico para conferir se quiser.