4- Calcule a área da superfície
, sobre o disco
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da superfície definida por
sobre o disco dado por
.\n
Informações do enunciado (tudo que nos foi dado):
(ou seja, a superfície é o gráfico da função
).
O domínio da superfície é o disco no plano definido por
(raio
, centro na origem).
Informações do enunciado (tudo que nos foi dado):
O domínio da superfície é o disco no plano
Passo 2
Qual é o objetivo exatamente? Calcular a área da parte da superfície que fica acima do disco
.\n
Método que usaremos (explico por que): para uma superfície dada como gráfico de uma função , existe uma fórmula padrão para a área da superfície sobre um domínio
do plano
. Essa fórmula reduz o problema a uma integral dupla sobre
. Vou apresentar a fórmula, explicar de onde ela vem em termos simples e depois aplicá-la ao nosso caso. Usei esse método porque é o jeito direto e prático para gráficos de funções
.
Método que usaremos (explico por que): para uma superfície dada como gráfico de uma função
Passo 3
Fórmula para a área de uma superfície que é gráfico de
sobre um domínio
:\n
Explicação intuitiva (sem jargões): imagine aproximar a superfície por pequenos quadradinhos no domínio
. Cada quadradinho do plano
com área
é projetado na superfície e vira um pequeno paralelogramo cuja área é aproximadamente
. A raiz vem do fator de alongamento devido à inclinação da superfície em relação ao plano. Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
é o elemento de área no plano
.
Passo 4
Calcule as derivadas parciais de
.\n
Derivando:
Derivando:
Substituindo na fórmula do integrando:
Passo 5
Montando a integral dupla sobre o domínio
(o disco de raio
):\n
Ainda é conveniente usar coordenadas polares porque
é um disco e o integrando depende só de
. Em coordenadas polares usamos
e
. O disco corresponde a
e
.
Passo 6
Escrevendo a integral em coordenadas polares: observe que
, então o integrando vira
. Portanto
Aqui cada parte significa:
(no elemento
) é o fator jacobiano da mudança para polares;
é o alongamento da área devido às inclinações
;
os limites cobrem todo o disco de raio
.
os limites
Passo 7
Calcule a integral interna em
. Vamos isolar a parte em
:
Fazemos a substituição adequada: seja
. Então
, ou seja
. Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo:
Agora integramos potência:
Portanto
Passo 8
Agora voltamos à integral em
. A área total é
O integrando não depende de
, então multiplica por
: