4- Calcule a área da superfície z=4-x^{2}-y^{2}, sobre o disco x^{2}+y^{2} \leq 9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície definida por \;z=4-x^{2}-y^{2}\; sobre o disco dado por \;x^{2}+y^{2}\leq 9\;.\n
Informações do enunciado (tudo que nos foi dado):
\;z=4-x^{2}-y^{2}\; (ou seja, a superfície é o gráfico da função \;f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}\;).
O domínio da superfície é o disco no plano xy definido por \;x^{2}+y^{2}\leq 9\; (raio 3, centro na origem).

Passo 2

Qual é o objetivo exatamente? Calcular a área da parte da superfície que fica acima do disco \;x^{2}+y^{2}\leq 9\;.\n
Método que usaremos (explico por que): para uma superfície dada como gráfico de uma função \;z=f(x,y)\;, existe uma fórmula padrão para a área da superfície sobre um domínio D do plano xy. Essa fórmula reduz o problema a uma integral dupla sobre D. Vou apresentar a fórmula, explicar de onde ela vem em termos simples e depois aplicá-la ao nosso caso. Usei esse método porque é o jeito direto e prático para gráficos de funções z=f(x,y).

Passo 3

Fórmula para a área de uma superfície que é gráfico de \;z=f(x,y)\; sobre um domínio D:\n
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\;dA.Á
Explicação intuitiva (sem jargões): imagine aproximar a superfície por pequenos quadradinhos no domínio D. Cada quadradinho do plano xy com área dA é projetado na superfície e vira um pequeno paralelogramo cuja área é aproximadamente \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA. A raiz vem do fator de alongamento devido à inclinação da superfície em relação ao plano. Aqui \;f_x\; e \;f_y\; são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente, e \;dA\; é o elemento de área no plano xy.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais de \;f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}\;.\n
Derivando:
\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = -2x,
\frac{\partial f}{\partial y} = f_y = -2y.
Substituindo na fórmula do integrando:
1+f_x^{2}+f_y^{2} = 1 + (-2x)^{2} + (-2y)^{2} = 1 + 4x^{2} + 4y^{2} = 1 + 4(x^{2}+y^{2}).

Passo 5

Montando a integral dupla sobre o domínio D (o disco de raio 3):\n
\text{Área}=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 9} \sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}\; dA.Á
Ainda é conveniente usar coordenadas polares porque D é um disco e o integrando depende só de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares usamos \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\; e \;dA = r\,dr\,d\theta\;. O disco corresponde a 0\le r\le 3 e 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 6

Escrevendo a integral em coordenadas polares: observe que \;x^{2}+y^{2}=r^{2}\;, então o integrando vira \sqrt{1+4r^{2}}. Portanto
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.Á
Aqui cada parte significa:
\;r\; (no elemento r\,dr\,d\theta) é o fator jacobiano da mudança para polares;
\;\sqrt{1+4r^{2}}\; é o alongamento da área devido às inclinações f_x,f_y;
os limites r\in[0,3],\;\theta\in[0,2\pi] cobrem todo o disco de raio 3.

Passo 7

Calcule a integral interna em r. Vamos isolar a parte em r:
I=\int_{0}^{3} r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Fazemos a substituição adequada: seja \;u=1+4r^{2}\;. Então \;du=8r\,dr\;, ou seja \;r\,dr = \frac{1}{8}\,du\;. Quando r=0 temos u=1. Quando r=3 temos u=1+4\cdot 9 = 37. Substituindo:
I=\int_{u=1}^{37} \sqrt{u}\;\frac{1}{8}\,du = \frac{1}{8}\int_{1}^{37} u^{1/2}\,du.
Agora integramos potência:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
I=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{37} = \frac{1}{12}\left(37^{3/2}-1^{3/2}\right) = \frac{1}{12}\left(37^{3/2}-1\right).

Passo 8

Agora voltamos à integral em \theta. A área total é
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi} I \; d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{12}\left(37^{3/2}-1\right)\; d\theta.Á
O integrando não depende de \theta, então multiplica por 2\pi:
\text{Área}=2\pi\cdot \frac{1}{12}\left(37^{3/2}-1\right) = \frac{\pi}{6}\left(37^{3/2}-1\right).Á

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2}-1\bigr)

Exercícios relacionados