Calcule a área do triângulo determinado pela reta e pelas assíntotas da hipérbole .
Passo 1
O enunciado pede a área do triângulo formado pela reta
e pelas assíntotas da hipérbole
O conteúdo envolve (1) encontrar as equações das assíntotas de uma hipérbole e (2) calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices.
Passo 2
Para achar as assíntotas, primeiro escrevemos a hipérbole em forma padrão dividindo ambos os lados por :
As assíntotas são obtidas anulando o termo constante, ou seja,
que fatorando dá
Passo 3
Agora encontramos os pontos de interseção da reta com cada assíntota:
Com :
Ponto .
Com :
Ponto .
As assíntotas se cruzam na origem .
Passo 4
Temos o triângulo com vértices , e . A área pode ser obtida pelo determinante: