1. Calcule a área do triângulo determinado pela reta 9 x+2 y=24 e pelas assíntotas da hipérbole 9 x^2-4 y^2=36.

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo formado pela reta
9x + 2y = 24
e pelas assíntotas da hipérbole
9x^2 - 4y^2 = 36
O conteúdo envolve (1) encontrar as equações das assíntotas de uma hipérbole e (2) calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices.

Passo 2

Para achar as assíntotas, primeiro escrevemos a hipérbole em forma padrão dividindo ambos os lados por 36:
x^24 ;-;y^29 ;=;1
As assíntotas são obtidas anulando o termo constante, ou seja,
x^24 - y^29 = 0
que fatorando dá
x^24 = y^29 Longrightarrow y = pm 32,x

Passo 3

Agora encontramos os pontos de interseção da reta 9x+2y=24 com cada assíntota:
  1. Com y = tfrac32x:
    9x + 2l(tfrac32xr) = 9x + 3x = 12x = 24 Longrightarrow x = 2,;y = 3
    Ponto A = (2,3).
  2. Com y = -tfrac32x:
    9x + 2l(-tfrac32xr) = 9x - 3x = 6x = 24 Longrightarrow x = 4,;y = -6
    Ponto B = (4,-6).
As assíntotas se cruzam na origem O = (0,0).

Passo 4

Temos o triângulo com vértices O=(0,0), A=(2,3) e B=(4,-6). A área pode ser obtida pelo determinante:
Área = tfrac12l|xAyB - xByAr| = tfrac12l|2cdot(-6) - 4cdot3r| = tfrac12l|-12 - 12r| = tfrac12cdot24 =12 Á

Resposta

A área do triângulo é 12 unidades de área.

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