Calcule a área dos triângulos definidos pelos pontos.
A(1,1), B(3,6), C(5,2) .

Passo 1

O enunciado fornece três pontos no plano e pede a área do triângulo determinado por eles. Os dados são:
  • A(1,1)
  • B(3,6)
  • C(5,2)
A pergunta é: qual é a área do triângulo cujos vértices são esses pontos?

Passo 2

Vamos usar uma fórmula direta e prática para calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas dos vértices: a fórmula do determinante (às vezes chamada de “fórmula do polígono” ou “shoelace”). Ela diz que, para pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), a área é
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\right|.Á
O que cada símbolo significa:
  • x_{1},y_{1} são as coordenadas do primeiro vértice (no nosso caso, A);
  • x_{2},y_{2} são as coordenadas do segundo vértice (no nosso caso, B);
  • x_{3},y_{3} são as coordenadas do terceiro vértice (no nosso caso, C);
  • O valor absoluto |\cdot| garante que a área seja positiva independentemente da ordem dos pontos;
  • O fator \tfrac{1}{2} aparece porque o determinante dá duas vezes a área do triângulo.
Intuição rápida (sem formalidade): essa expressão calcula a “área orientada” pelo determinante 2×2 entre vetores formados pelos pontos; tomar o módulo e dividir por 2 dá a área geométrica.

Passo 3

Identifico as coordenadas na notação da fórmula:
x_{1}=1,\; y_{1}=1;\qquad x_{2}=3,\; y_{2}=6;\qquad x_{3}=5,\; y_{3}=2.
Agora calculo cada termo dentro do módulo da fórmula:
y_{2}-y_{3}=6-2=4,\quad \Rightarrow\quad x_{1}(y_{2}-y_{3})=1\cdot 4=4.
y_{3}-y_{1}=2-1=1,\quad \Rightarrow\quad x_{2}(y_{3}-y_{1})=3\cdot 1=3.
y_{1}-y_{2}=1-6=-5,\quad \Rightarrow\quad x_{3}(y_{1}-y_{2})=5\cdot(-5)=-25.

Passo 4

Somando os termos obtidos:
x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})=4+3-25=-18.
Tomando o valor absoluto e multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|-18\right|=\frac{1}{2}\cdot 18=9.Á

Passo 5

Checagem rápida (opcional, só para dar confiança): usando a versão “shoelace” (mesma ideia, disposição cíclica dos produtos) temos
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|(1\cdot 6+3\cdot 2+5\cdot 1)-(1\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot 1)\right|Á
=\frac{1}{2}\left|(6+6+5)-(3+30+2)\right|=\frac{1}{2}\left|17-35\right|=\frac{1}{2}\cdot 18=9,
mesma resposta — então está consistente. Boa! Você conseguiu chegar ao valor com contas simples.

Resposta

Área =9

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