Calcule a área dos triângulos definidos pelos pontos.
A(2,-3), B(4,2), C(-5,-2).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(2,-3), B(4,2) e C(-5,-2).
Informações dadas:
  • A=(2,-3)
  • B=(4,2)
  • C=(-5,-2)
A pergunta única é: qual é a área desse triângulo?

Passo 2

Vou usar a fórmula do determinante (também conhecida como fórmula do polígono ou “shoelace”) porque é direta e fácil de aplicar com coordenadas; dá a área sem precisar desenhar nada. A fórmula (para um triângulo com vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)) é:
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - \bigl(y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1\bigr)\right|.Á
O que cada símbolo significa:
  • x_1,y_1 são as coordenadas do primeiro vértice,
  • x_2,y_2 do segundo,
  • x_3,y_3 do terceiro,
  • o módulo absoluto |\cdot| garante que a área seja não negativa,
  • o fator \tfrac{1}{2} vem do fato de área do paralelogramo definido por dois vetores ser o valor absoluto do determinante; o triângulo é metade desse paralelogramo.
Um exemplo simples para lembrar: para os pontos (0,0),(1,0),(0,1) a fórmula dá \tfrac{1}{2}, que é a área esperada de um triângulo retângulo de catetos 1.

Passo 3

Identifico as coordenadas conforme a fórmula:
x_1=2,\quad y_1=-3,\quad x_2=4,\quad y_2=2,\quad x_3=-5,\quad y_3=-2.
Calculo os termos da fórmula passo a passo.
Primeiro a soma S_1 = x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1:
x_1y_2 = 2\cdot 2 = 4,
x_2y_3 = 4\cdot(-2) = -8,
x_3y_1 = (-5)\cdot(-3) = 15.
Portanto
S_1 = 4 + (-8) + 15 = 11.
Agora a soma S_2 = y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1:
y_1x_2 = (-3)\cdot 4 = -12,
y_2x_3 = 2\cdot(-5) = -10,
y_3x_1 = (-2)\cdot 2 = -4.
Portanto
S_2 = -12 + (-10) + (-4) = -26.

Passo 4

Substituo na fórmula e prossigo com a aritmética:
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\left| S_1 - S_2 \right| = \tfrac{1}{2}\left| 11 - (-26) \right|.Á
Calculo o interior do valor absoluto:
11 - (-26) = 11 + 26 = 37.
Logo
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\cdot 37 = \tfrac{37}{2}.Á
Em forma decimal isso é \,18,5 (de acordo com a vírgula decimal usada aqui).

Passo 5

Interpretação e dica para a prova: o resultado \tfrac{37}{2} é a área em unidades de área (não foi dada unidade no enunciado). Na prova, aplicar a fórmula do determinante/“shoelace” é rápido e confiável — basta organizar bem os sinais e somar os termos em duas somas como fizemos.
Força aí — você já chegou no resultado final, e praticando esse procedimento algumas vezes fica bem automático!

Resposta

\dfrac{37}{2} unidades de área

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