Utilizando o comprimento diferencial dl, determine o comprimento de cada uma das seguintes curvas:
\rho=3, \pi / 4<\varphi<\pi / 2, z= constante

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por \rho=3,\\ \pi/4<\varphi<\pi/2,\\ z= constante. Informações claras e relevantes que temos:
  • A coordenada radial \rho é constante e vale \rho=3.
  • O ângulo azimutal \varphi varia de \varphi=\pi/4 até \varphi=\pi/2.
  • z é constante, então não muda ao longo da curva.
    A pergunta é: qual é o comprimento dessa curva entre os dois valores de \varphi?

Passo 2

Vamos lembrar e justificar a expressão do comprimento diferencial dl em coordenadas cilíndricas. A maneira mais segura é partir das coordenadas cartesianas:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Diferenciando:
dx = \cos\varphi\,d\rho - \rho\sin\varphi\,d\varphi, \qquad dy = \sin\varphi\,d\rho + \rho\cos\varphi\,d\varphi, \qquad dz = dz.
Agora calculamos dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2. Primeiro dx^2+dy^2:
dx^2+dy^2 = (\cos\varphi\,d\rho - \rho\sin\varphi\,d\varphi)^2 + (\sin\varphi\,d\rho + \rho\cos\varphi\,d\varphi)^2.
Expandindo e somando os termos (faça isso devagar na prova; aqui estão os passos):
  • Termos em d\rho^2: \cos^2\varphi\,d\rho^2 + \sin^2\varphi\,d\rho^2 = (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\,d\rho^2 = d\rho^2.
  • Termos em d\varphi^2: \rho^2\sin^2\varphi\,d\varphi^2 + \rho^2\cos^2\varphi\,d\varphi^2 = \rho^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)\,d\varphi^2 = \rho^2 d\varphi^2.
  • Termos mistos em d\rho\,d\varphi se cancelam: -2\rho\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi + 2\rho\sin\varphi\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi = 0.
    Portanto
dx^2+dy^2 = d\rho^2 + \rho^2 d\varphi^2.
Assim o comprimento diferencial em coordenadas cilíndricas é
dl^2 = d\rho^2 + \rho^2 d\varphi^2 + dz^2,
ou seja
dl = \sqrt{d\rho^2 + \rho^2 d\varphi^2 + dz^2}.

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula à curva dada. Como \rho é constante ( d\rho=0) e z é constante ( dz=0), resta apenas o termo em d\varphi:
dl = \sqrt{0 + \rho^2 d\varphi^2 + 0} = \rho\,|d\varphi|.
Em uma integral de comprimento a direção (sinal) não importa, então podemos tomar dl=\rho\,d\varphi usando a orientação em que \varphi aumenta.

Passo 4

Substituindo \rho=3 obtemos
dl = 3\,d\varphi.
O comprimento total L é a integral de dl entre os limites dados de \varphi:
L=\int_{\varphi=\pi/4}^{\varphi=\pi/2} 3\,d\varphi.

Passo 5

Calcule a integral explicitamente:
L = 3\int_{\pi/4}^{\pi/2} d\varphi = 3\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = 3\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Passo 6

Interpretação geométrica rápida (boa para a prova): a curva é um arco de circunferência de raio \rho=3 no plano z= constante, subtendendo um ângulo de \Delta\varphi=\pi/2-\pi/4=\pi/4. O comprimento de um arco é sempre raio vezes ângulo (em radianos), portanto L=3\cdot(\pi/4)=3\pi/4, que confirma o cálculo acima.

Resposta

\dfrac{3\pi}{4}

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