Utilizando o comprimento diferencial dl, determine o comprimento de cada uma das seguintes curvas:
constante
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva dada por
constante. Informações claras e relevantes que temos:
- A coordenada radial
é constante e vale . - O ângulo azimutal
varia de até . -
é constante, então não muda ao longo da curva.
A pergunta é: qual é o comprimento dessa curva entre os dois valores de?
Passo 2
Vamos lembrar e justificar a expressão do comprimento diferencial
em coordenadas cilíndricas. A maneira mais segura é partir das coordenadas cartesianas:
Diferenciando:
Agora calculamos
. Primeiro
:
Expandindo e somando os termos (faça isso devagar na prova; aqui estão os passos):
- Termos em
: - Termos em
: - Termos mistos em
se cancelam:
Portanto
Assim o comprimento diferencial em coordenadas cilíndricas é
ou seja
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula à curva dada. Como
é constante (
) e
é constante (
), resta apenas o termo em
:
Em uma integral de comprimento a direção (sinal) não importa, então podemos tomar
usando a orientação em que
aumenta.
Passo 4
Substituindo
obtemos
O comprimento total
é a integral de
entre os limites dados de
:
Passo 5
Calcule a integral explicitamente:
Passo 6
Interpretação geométrica rápida (boa para a prova): a curva é um arco de circunferência de raio
no plano
constante, subtendendo um ângulo de
. O comprimento de um arco é sempre raio vezes ângulo (em radianos), portanto
, que confirma o cálculo acima.