Calcule as áreas das seguintes superficies, utilizando a área da superfície diferencial d S :
\rho=2,0<z<5, \pi / 3<\varphi<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede calcular a área da superfície definida pelas condições:
  • \rho=2 (constante);
  • 0<z<5;
  • \dfrac{\pi}{3}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A coordenada radial \rho vale 2 em toda a superfície.
  • A coordenada z varia de 0 até 5 (altura da superfície).
  • O ângulo azimutal \varphi varia de \dfrac{\pi}{3} até \dfrac{\pi}{2} (largura angular da superfície).

Passo 2

Vamos parametrizar a superfície usando as coordenadas cilíndricas (as quais aparecem no enunciado). Uma superfície com \rho fixo pode ser parametrizada por (\varphi,z). A parametrização é
\mathbf{r}(\varphi,z)=\big(\rho\cos\varphi,\;\rho\sin\varphi,\;z\big).
Aqui cada componente significa:
  • \rho\cos\varphi é a coordenada x,
  • \rho\sin\varphi é a coordenada y,
  • z é a coordenada vertical.
    No nosso caso \rho=2, então
\mathbf{r}(\varphi,z)=\big(2\cos\varphi,\;2\sin\varphi,\;z\big).

Passo 3

Para obter o elemento de área diferencial dS de uma superfície parametrizada por (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v), usamos
dS=\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são derivadas parciais. Aqui usamos u=\varphi e v=z. Calculamos as derivadas:
\mathbf{r}_\varphi(\varphi,z)=\big(-2\sin\varphi,\;2\cos\varphi,\;0\big), \qquad \mathbf{r}_z(\varphi,z)=\big(0,\;0,\;1\big).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_z=(2\cos\varphi,\;2\sin\varphi,\;0).
A norma desse vetor é
\big\lVert \mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_z\big\rVert =\sqrt{(2\cos\varphi)^2+(2\sin\varphi)^2} =\sqrt{4(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}=2.
Portanto o elemento de área é
dS=2\,d\varphi\,dz.
(Observação: em geral, para \rho fixo tem-se dS=\rho\,d\varphi\,dz; aqui \rho=2.)

Passo 4

Agora integramos dS sobre os intervalos dados para \varphi e z. A área A é
A=\int_{\varphi=\pi/3}^{\pi/2}\int_{z=0}^{5} 2\,dz\,d\varphi.
Fazendo a integral em z primeiro:
\int_{z=0}^{5}2\,dz=2\cdot 5=10.
Logo
A=\int_{\varphi=\pi/3}^{\pi/2} 10\,d\varphi=10\Big(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\Big).
Calcule a diferença dos ângulos:
\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi-2\pi}{6}=\frac{\pi}{6}.
Portanto
A=10\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{10\pi}{6}=\frac{5\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{5\pi}{3}

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