Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida: f(x)=\sqrt{x+1}; entre x=0 e x=4.
Passo 1
O enunciado pede calcular a área sob a curva f(x)=\sqrt{x+1} no intervalo de x=0 a x=4.
Informações dadas:
Função: f(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}.
Intervalo: x\in[0,4].
O que se quer: a área sob a curva, que corresponde à integral definida \displaystyle \int_{0}^{4}\sqrt{x+1}\,dx.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): a área sob uma curva y=f(x) entre x=a e x=b é dada pela integral definida
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva (antiderivada) de f — isto é, F'(x)=f(x) — então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto nossa tarefa é encontrar uma primitiva de f(x)= (x+1)^{1/2} e depois avaliar essa primitiva nos extremos 0 e 4.
Regra prática que usamos para encontrar primitivas (regra da potência): para qualquer expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Quando a função é uma potência de uma expressão linear, como (x+1)^{1/2}, é conveniente usar a substituição u=x+1 para deixar a integral na forma de uma potência simples.
Interpretação rápida e incentivo: esse valor é a área sob a curva y=\sqrt{x+1} do x=0 ao x=4. A técnica usada — substituição para transformar em potência e aplicar a regra da potência — é a maneira padrão e muito prática para integrandos do tipo (ax+b)^{n}. Dá para repetir esse procedimento na prova sem calculadora, guardando a expressão exata \dfrac{2}{3}(5\sqrt{5}-1).