Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida:
f(x)=\sqrt{x+1}; entre x=0 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede calcular a área sob a curva f(x)=\sqrt{x+1} no intervalo de x=0 a x=4.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}.
  • Intervalo: x\in[0,4].
  • O que se quer: a área sob a curva, que corresponde à integral definida \displaystyle \int_{0}^{4}\sqrt{x+1}\,dx.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): a área sob uma curva y=f(x) entre x=a e x=b é dada pela integral definida
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva (antiderivada) de f — isto é, F'(x)=f(x) — então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto nossa tarefa é encontrar uma primitiva de f(x)= (x+1)^{1/2} e depois avaliar essa primitiva nos extremos 0 e 4.
Regra prática que usamos para encontrar primitivas (regra da potência): para qualquer expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Quando a função é uma potência de uma expressão linear, como (x+1)^{1/2}, é conveniente usar a substituição u=x+1 para deixar a integral na forma de uma potência simples.

Passo 3

Fazer a substituição para simplificar a integral:
u = x+1.
Então
du = dx.
Mudar os limites de integração:
  • quando x=0, u=0+1=1;
  • quando x=4, u=4+1=5.
Com isso a integral vira
\int_{0}^{4}\sqrt{x+1}\,dx = \int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.

Passo 4

Aplicar a regra da potência para integrar u^{1/2}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Logo uma primitiva é F(u)=\dfrac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites u=1 e u=5:
\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du = \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{1}^{5} = \frac{2}{3}\bigl(5^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Simplificando 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 1^{3/2}=1, obtemos a forma exata
\frac{2}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).
Se desejar uma aproximação decimal, calcule:
5\sqrt{5}\approx 11{,}1803399\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)\approx 6{,}7869.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: esse valor é a área sob a curva y=\sqrt{x+1} do x=0 ao x=4. A técnica usada — substituição para transformar em potência e aplicar a regra da potência — é a maneira padrão e muito prática para integrandos do tipo (ax+b)^{n}. Dá para repetir esse procedimento na prova sem calculadora, guardando a expressão exata \dfrac{2}{3}(5\sqrt{5}-1).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)
\displaystyle \approx 6{,}7869

Exercícios relacionados